5.3. (23,12)-код Голея

Занимаясь поисками совершенных кодов, Голей заметил, что

и что это означает, что может существовать совершенный двоичный -код, исправляющий все комбинации из трех или менее ошибок. Он нашел, что такой код действительно существует. Мы не будем описывать здесь этот код, поскольку он снова появится позже как циклический код и будет рассмотрен с этой точки зрения (см. стр. 159 и 188). Количества кодовых векторов, входящих в -код и в -код, получаемый из первого кода дополнительной проверкой на четность по всем символам, указаны в табл. 5-1,

Таблица 5.1 (см. скан) Веса кодовых векторов в кодах Голея

Коды, содержащие один информационный символ, повторенный раз, исправляют все комбинации из или менее ошибок и не исправляют комбинации из более чем ошибок. Кроме этих тривиальных кодов, кода Хэмминга и -кода Голея, неизвестно никаких других совершенных двоичных кодов. Имеются некоторые результаты, показывающие, что совершенных кодов мало, и кажется вполне правдоподобным предположение, что не существует других совершенных кодов 142], [116].