Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
ГЛАВА 6. КОЛЬЦА МНОГОЧЛЕНОВ И ПОЛЯ ГАЛУАОставшиеся главы этой книги предполагают некоторое знакомство с понятиями колец, идеалов, классов вычетов и с основами структуры конечных полей. Цель этой главы — дать минимальные сведения, необходимые для понимания последующих глав. 6.1. Идеалы, классы вычетов и кольцо классов вычетовВ теории групп очень важную роль играет понятие подгруппы, в частности, нормального делителя. В теории колец соответствующую роль играет понятие идеала. Идеалом I называется подмножество элементов кольца Пример. В кольце из всех положительных и отрицательных целых чисел и нуля множество всех чисел, кратных некоторому целому числу образует идеал. Поскольку идеал является подгруппой, могут быть образованы смежные классы. В этом случае смежные классы называются классами вычетов. Идеал образует первую строку разложения с нулевым элементом слева. Далее, любой элемент кольца, не принадлежащий идеалу, может быть выбран в качестве образующего первого класса вычетов, а остальные элементы класса строятся прибавлением образующего к каждому элементу идеала:
Первыми элементами в каждой строке являются, как и прежде, элементы, не использованные в предыдущих строках. Конечно, все свойства смежных классов верны также для классов вычетов. В частности, поскольку групповая операция сложения коммутативна, идеал является нормальным делителем и определено сложение классов вычетов:
где
Это определение является законным только в том случае, если независимо от выбора представителей в классах вычетов, которые должны быть перемножены, соотношение 6.1 определяет в качестве произведения один и тот же класс вычетов. Другими словами, если
Поскольку элементы Легко проверить, что справедливы ассоциативный и дистрибутивный законы:
и аналогично проверяется справедливость дистрибутивного закона для умножения справа. Очевидно, умножение определено для любой пары классов вычетов. Следовательно, имеет место теорема 6.1. Теорема 6.1. Классы вычетов по идеалу в некотором кольце образуют кольцо. Это кольцо называется кольцом классов вычетов. Пример. В кольце всех целых чисел рассмотрим идеал, образуемый всеми четными целыми числами. Тогда имеется два класса вычетов:
|
1 |
Оглавление
|