Главная > Коды, исправляющие ошибки
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

ГЛАВА 6. КОЛЬЦА МНОГОЧЛЕНОВ И ПОЛЯ ГАЛУА

Оставшиеся главы этой книги предполагают некоторое знакомство с понятиями колец, идеалов, классов вычетов и с основами структуры конечных полей. Цель этой главы — дать минимальные сведения, необходимые для понимания последующих глав.

6.1. Идеалы, классы вычетов и кольцо классов вычетов

В теории групп очень важную роль играет понятие подгруппы, в частности, нормального делителя. В теории колец соответствующую роль играет понятие идеала. Идеалом I называется подмножество элементов кольца обладающее следующими двумя свойствами: 1) является подгруппой аддитивной группы кольца и 2) для любого элемента а из и любого элемента из произведения принадлежат (Иногда называют двусторонним идеалом.)

Пример. В кольце из всех положительных и отрицательных целых чисел и нуля множество всех чисел, кратных некоторому целому числу образует идеал.

Поскольку идеал является подгруппой, могут быть образованы смежные классы. В этом случае смежные классы называются классами вычетов. Идеал образует первую строку разложения с нулевым элементом слева. Далее, любой элемент кольца, не принадлежащий идеалу, может быть выбран в качестве образующего первого класса вычетов, а остальные элементы класса строятся прибавлением образующего к каждому элементу идеала:

Первыми элементами в каждой строке являются, как и прежде, элементы, не использованные в предыдущих строках.

Конечно, все свойства смежных классов верны также для классов вычетов. В частности, поскольку групповая операция сложения коммутативна, идеал является нормальным делителем и определено сложение классов вычетов:

где обозначает класс вычетов, содержащий При таком определении классы вычетов образуют аддитивную группу — факторгруппу, введенную в разд. 2.4. Можно также определить умножение классов вычетов:

Это определение является законным только в том случае, если независимо от выбора представителей в классах вычетов, которые должны быть перемножены, соотношение 6.1 определяет в качестве произведения один и тот же класс вычетов. Другими словами, если принадлежат одному и тому же классу вычетов и если и принадлежат одному и тому же классу вычетов, то произведения должны принадлежать одному и тому же классу вычетов. Это условие будет выполняться тогда и только тогда, когда элемент принадлежит идеалу. Но

Поскольку элементы принадлежат идеалу, то каждое из двух слагаемых в правой части этого равенства тоже принадлежит идеалу, и, следовательно, элемент принадлежит идеалу. Таким образом, это определение умножения классов вычетов имеет смысл.

Легко проверить, что справедливы ассоциативный и дистрибутивный законы:

и аналогично проверяется справедливость дистрибутивного закона для умножения справа. Очевидно, умножение определено для любой пары классов вычетов. Следовательно, имеет место теорема 6.1.

Теорема 6.1. Классы вычетов по идеалу в некотором кольце образуют кольцо.

Это кольцо называется кольцом классов вычетов.

Пример. В кольце всех целых чисел рассмотрим идеал, образуемый всеми четными целыми числами. Тогда имеется два класса вычетов: Легко видеть, что с арифметической точки зрения кольцо классов вычетов определяет в точности арифметику по модулю

1
Оглавление
email@scask.ru