ГЛАВА 6. КОЛЬЦА МНОГОЧЛЕНОВ И ПОЛЯ ГАЛУА

Оставшиеся главы этой книги предполагают некоторое знакомство с понятиями колец, идеалов, классов вычетов и с основами структуры конечных полей. Цель этой главы — дать минимальные сведения, необходимые для понимания последующих глав.

6.1. Идеалы, классы вычетов и кольцо классов вычетов

В теории групп очень важную роль играет понятие подгруппы, в частности, нормального делителя. В теории колец соответствующую роль играет понятие идеала. Идеалом I называется подмножество элементов кольца обладающее следующими двумя свойствами: 1) является подгруппой аддитивной группы кольца и 2) для любого элемента а из и любого элемента из произведения принадлежат (Иногда называют двусторонним идеалом.)

Пример. В кольце из всех положительных и отрицательных целых чисел и нуля множество всех чисел, кратных некоторому целому числу образует идеал.

Поскольку идеал является подгруппой, могут быть образованы смежные классы. В этом случае смежные классы называются классами вычетов. Идеал образует первую строку разложения с нулевым элементом слева. Далее, любой элемент кольца, не принадлежащий идеалу, может быть выбран в качестве образующего первого класса вычетов, а остальные элементы класса строятся прибавлением образующего к каждому элементу идеала:

Первыми элементами в каждой строке являются, как и прежде, элементы, не использованные в предыдущих строках.

Конечно, все свойства смежных классов верны также для классов вычетов. В частности, поскольку групповая операция сложения коммутативна, идеал является нормальным делителем и определено сложение классов вычетов:

где обозначает класс вычетов, содержащий При таком определении классы вычетов образуют аддитивную группу — факторгруппу, введенную в разд. 2.4. Можно также определить умножение классов вычетов:

Это определение является законным только в том случае, если независимо от выбора представителей в классах вычетов, которые должны быть перемножены, соотношение 6.1 определяет в качестве произведения один и тот же класс вычетов. Другими словами, если принадлежат одному и тому же классу вычетов и если и принадлежат одному и тому же классу вычетов, то произведения должны принадлежать одному и тому же классу вычетов. Это условие будет выполняться тогда и только тогда, когда элемент принадлежит идеалу. Но

Поскольку элементы принадлежат идеалу, то каждое из двух слагаемых в правой части этого равенства тоже принадлежит идеалу, и, следовательно, элемент принадлежит идеалу. Таким образом, это определение умножения классов вычетов имеет смысл.

Легко проверить, что справедливы ассоциативный и дистрибутивный законы:

и аналогично проверяется справедливость дистрибутивного закона для умножения справа. Очевидно, умножение определено для любой пары классов вычетов. Следовательно, имеет место теорема 6.1.

Теорема 6.1. Классы вычетов по идеалу в некотором кольце образуют кольцо.

Это кольцо называется кольцом классов вычетов.

Пример. В кольце всех целых чисел рассмотрим идеал, образуемый всеми четными целыми числами. Тогда имеется два класса вычетов: Легко видеть, что с арифметической точки зрения кольцо классов вычетов определяет в точности арифметику по модулю