6.5. Поля Галуа

Теорема 6.13. Пусть многочлен с коэффициентами из поля Если неприводим в поле т. е. если нельзя представить в виде произведения многочленов с коэффициентами из то алгебра многочленов над полем по модулю является полем.

Доказательство в точности аналогично доказательству теоремы 6.4.

Пример. Рассмотрим кольцо многочленов с действительными коэффициентами по модулю неприводимого многочлена Обозначим через класс вычетов, содержащий Тогда каждый элемент получившегося поля можно представить в виде многочлена степени меньшей, чем 2, от в виде а Так как по теореме 6.8 удовлетворяет уравнению то или Это просто один из способов описания поля комплексных чисел.

Поле, образованное многочленами над полем по модулю неприводимого многочлена степени называется расширением поля степени над Если класс вычетов, содержащий X, обозначен а, то расширение поля обозначается Первоначальное поле называется основным полем. Новое поле содержит элементы (класс вычетов), соответствующие каждому элементу основного

поля, и можно сказать, что оно содержит основное поле. Так как то а — корень многочлена поэтому говорят, что расширение поля образуется присоединением корня к основному полю. Эта терминология поучительна и удобна, но ее нужно рассматривать не более как эвристическое описание процесса построения поля, элементами которого являются классы вычетов.

В разд. 6.2 было показано, что классы вычетов целых чисел по модулю некоторого простого числа образуют поле из элементов, называемое полем Галуа Можно доказать, что кольцо многочленов над любым конечным полем содержит по крайней мере один неприводимый многочлен каждой степени. Поле многочленов над по модулю неприводимого многочлена степени называется полем Галуа, состоящим из элементов, и обозначается Оно является по теореме 6.7 векторным пространством размерности над полем следовательно, оно содержит элементов. Для любого числа которое является степенью простого числа, следовательно, существует поле содержащее элементов. Можно показать также, что всякое конечное поле изоморфно некоторому полю Галуа, т. е. что всякое конечное поле имеет ту же самую структуру, что и некоторое поле Галуа, и отличается от него только выбором обозначений для элементов. Можно также доказать, что любые два конечные поля с одним и тем же числом элементов изоморфны, т. е. они отличаются только выбором обозначений для элементов,

Поля Галуа, которые могут быть образованы классами вычетов многочленов по модулю неприводимого многочлена над полем называются полями характеристики Таким образом, это поле характеристики при любом выборе В поле элемент Поскольку поле коэффициентов для то во всех полях характеристики элемент Тогда

и все биномиальные коэффициенты при содержат в качестве множителя и поэтому равны 0, так что доказана следующая теорема.

Теорема 6.14. В поле характеристики имеет место равенство

Рассмотрим теперь основное поле и некоторое его расширение; пусть любой элемент расширения. Нормированный многочлен наименьшей степени с коэффициентами из основного поля такой, что называется минимальным многочленом, или минимальной функцией для

Теорема 6.15. Минимальная функция для любого элемента является неприводимым многочленом.

Доказательство. Предположим, что, наоборот, Тогда и по крайней мере один из сомножителей или должен быть равен 0. Если эти сомножители нетривиальны, то это противоречит предположению о том, что -многочлен минимальной степени, имеющий корнем . Ч. т. д.

Теорема 6.16. Если многочлен с коэффициентами из основного поля и если то многочлен делится на минимальную функцию для

Доказательство. В соответствии с алгоритмом Евклида

где многочлен степени меньшей, чем степень Поскольку то Так как минимальная функция для а степень многочлена меньше степени то если только . Ч. т. д.

Из теоремы 6.16 следует, что минимальная функция для единственна. Из нее следует также, что если -нормированный неприводимый многочлен и если то минимальная функция для

Теорема 6.17. Для каждого элемента из расширения поля степени над существует минимальная функция для этого элемента степени или меньше.

Доказательство. По теореме 6.7 расширение поля является векторным пространством размерности Поэтому для любого элемента совокупность из элементов не может быть линейно независимой. Следовательно, должен существовать некоторый многочлен степени или меньше от который равен О, и этот многочлен можно нормировать, разделив его на коэффициент при высшей степени переменного. Ч. т. д.