10.4. Двоичные коды, исправляющие пачки только с четным или только с нечетным числом ошибок

В общем случае каналов с зависимыми символами оптимальными будут коды, исправляющие наибольшее возможное число наиболее правдоподобных комбинаций ошибок. Всякая попытка найти хорошие коды при помощи общего подхода, не используя соображений о том, какие комбинации ошибок наиболее типичны для используемых на практике каналов с памятью, кажется заведомо безнадежной. Коды, исправляющие пачки ошибок, были введены в предположении, что в каналах некоторых типов наиболее правдоподобно появление ошибок в виде пачек.

Помимо пачек ошибок, существует еще один практически интересный случай. В некоторых типах систем модуляции, используемых для передачи или для записи двоичных символов, правдоподобно только появление пачек с четным числом ошибок [52). Так как среди пачек ошибок длины b или меньше только около половины имеют четное число единиц, то, следовательно, для исправления всех пачек ошибок длины b или меньше требуется самое большее только половина смежных классов. Это подсказывает возможность отбросить один проверочный символ. Оказывается, что в кодах Файра. предназначенных для исправления пачек ошибок длины b или меньше и обнаружения пачек ошибок, длины которых могут принимать значения между один проверочный символ может быть заменен информационным символом, при условии, что с — нечетно и что рассматриваются пачки ошибок только с четным или только с нечетным числом единиц.

Теорема 10.3. Пусть многочлен, порождающий двоичный циклический код, причем неприводимый многочлен степени а с — нечетное число. Тогда если то никакой вектор, равный сумме пачки ошибок длины b или меньше и пачки ошибок длины d или меньше, таких, что число ненулевых элементов в них имеет одну и ту же четность, не может принадлежать этому коду.

Доказательство. Обозначим пачку длины пачку ошибок длины d и рассмотрим их сумму Так как число ненулевых слагаемых в и имеет одну и ту же четность, то и если положить

то

Таким образом, многочлен входит в качестве сомножителя в разложение на множители. Далее, по условию теоремы с нечетно, поэтому многочлен не делится на и следовательно, многочлен не делится на Итак, делится на тогда и только тогда, когда делится на Но из теоремы 10.1 следует, что не делится на многочлен