Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
2.5. Векторные пространства и линейные алгебрыМножество V называется векторным пространством над полем Аксиома V. 1. Множество V является абелевой аддитивной группой. Аксиома V. 2. Для любого вектора Аксиома V. 3 (дистрибутивный закон). Если Аксиома V. 4 (дистрибутивный закон). Если Аксиома V. 5 (ассоциативный закон). Если Множество А называется линейной ассоциативной алгеброй над полем Аксиома А. 1. Множество А является векторным пространством над Аксиома А. 2. Для любых двух элементов Аксиома А. 3 (ассоциативный закон). Для любьнс трех элементов Аксиома А. 4 (билинейный закон). Если с и Последовательностью длины
Умножение последовательности длины
Если определены эти две операции, то, как легко проверить, совокупность всех последовательностей длины а над полем образует векторное пространство. Такие векторные пространства занимают центральное место в теории кодирования. Они и являются основным предметом изучения остальной части данной главы. Умножение последовательностей длины
Введение этой операции превращает совокупность последовательностей в линейную алгебру. Определенное таким образом умножение используется довольно редко. Другой способ умножения последовательностей, приводящий к линейной алгебре, описывается в гл. 6. Он играет более важную роль в теории кодирования. Единичный элемент векторного пространства будем обозначать тем же символом 0, который используется для обозначения нулевого элемента в поле. (Из контекста будет ясно, означает символ 0 вектор или скаляр.) В совокупности всех последовательностей длины
Для совокупности последовательностей очевидно, а в случае произвольного векторного пространства легко проверить, что для любого вектора Подмножество векторного пространства называется подпространством, если оно удовлетворяет аксиомам векторного пространства. Для того чтобы проверить, является ли некоторое подмножество векторного пространства подпространством, необходимо проверить только замкнутость этого подмножества относительно операций сложения и умножения на скаляр. Заметим, что так как Линейной комбинацией
Здесь Теорема 2.5. Совокупность всех линейных комбинаций некоторого набора векторов Доказательство. Очевидно, что любая линейная комбинация векторов из V является снова вектором из Совокупность векторов
Совокупность векторов называется линейно независимой. если она не является линейно зависимой. Говорят, что некоторая совокупность векторов порождает векторное пространство, если каждый вектор векторного пространства представим в виде линейной комбинации векторов этой совокупности. Теорема 2.6. Если совокупность Доказательство. Поскольку векторы Теорема 2.7. Если два множества линейно независимых векторов порождай Доказательство. Если в одном множестве В любом пространстве число линейно независимых векторов, порождающих пространство, называется размерностью пространства. Совокупность Теорема 2.8. Если V есть Доказательство. Пусть Теорема 2.9. Если векторное пространство Доказательство. Базис пространства Скалярным произведением двух последовательностей длины
Легко показать, что
|
1 |
Оглавление
|