9.3. Коды Рида — Соломона

Важным является также частный случай Пусть а — элемент порядка (Если а — примитивный элемент, то своему наибольшему, возможному значению.) Пусть вектор принадлежит коду тогда и только тогда, когда элементы

являются корнями многочлена Минимальная функция для равна просто так что

Степень многочлена равна . В результате получается код длины проверочными символами и с минимальным расстоянием, равным

Ридом и Соломоном был описан следующий код. Предположим, что а — примитивный элемент поля Порядок элемента а равен Предположим, что информационные символы, и образуем многочлен

Тогда кодовый вектор определяется как

т. е. как набор значений многочлена при аргументе, пробегающем последовательно все степени а или все ненулевые элементы

Рассмотрим мюгочлен, коэффициентами которого являются компоненты вектора (9.4):

Заметим, что все ненулевые элементы корни многочлена

и, следовательно, все элементы кроме 1, являются корнями многочлена Величина равна или —1. Отсюда следует, что

и что при Но так как то следовательно, для Таким образом, получается код Боуза — Чоудхури для описанный в начале этого раздела. Это код, длина которого число проверочных символов равно и минимальное расстояние равно самое меньшее (См. задачу 9.3.)

Такие коды полезны при исправлении пачек ошибок (см. разд. 10.7).