2.2. Кольца

Кольцом называется множество элементов, на котором определены две операции. Одна из них называется сложением и обозначается а другая называется умножением и обозначается даже если эти операции не являются обычными операциями сложения и умножения чисел. Для того чтобы было кольцом, должны выполняться следующие аксиомы;

Аксиома R. I. Множество является аддитивной абелевой группой (т. е. абелевой группой по сложению).

Аксиома R. 2 (замкнутость). Для любых двух элементов а и b из множества определено произведение которое является элементом

Аксиома R. 3 (ассоциативный закон). Для любых трех элементов и с из множества

Аксиома R. 4 (дистрибутивный закон). Для любых трех элементов и с из множества справедливы равенства

Кольцо называется коммутативным, если коммутативна операция умножения, т. е. если для любых двух элементов а и b выполняется равенство

Теорема 2.2. В любом кольце для любых элементов а и b справедливы соотношения

Доказательство. В любом кольце по аксиоме для любого элемента а выполняется равенство а Но поскольку то Далее, элемент должен обладать обратным элементом по сложению. Прибавляя этот обратный элемент к обеим частям последнего соотношения, получим так что в любом кольце Аналогично доказывается соотношение Далее, так что Аналогично

Примеры. Все действительные числа образуют кольцо с обычными операциями сложения и умножения. Все положительные и отрицательные целые числа и нуль также образуют кольцо с обычными сложением и умножением. Оба эти кольца коммутативны. Совокупность всех квадратных матриц порядка с целыми или действительными элементами является кольцом относительно операций матричного сложения и матричного умножения, причем это кольцо некоммутативно. Совокупность всех многочленов с одним неизвестным (или переменным) с целыми коэффициентами является коммутативным кольцом.

Множество, состоящее только из одного нулевого элемента, является кольцом, операции в котором определяются правилами Существуют два различных кольца с двумя элементами. Один из элементов кольца должен быть единичным относительно сложения, т. е. нулем. Другой элемент должен удовлетворять соотношению Так как по теореме 2.2 то остается только выяснить, чему равна величина Оказывается, что при обоих возможных определениях удовлетворяются и дистрибутивный и ассоциативный законы, и, таким образом, выбор любого из этих определений задает кольцо, причем очевидно, что различные выборы определяют кольца различной структуры.