7.5. Анализ линейных переключательных схем

В этом разделе проводится анализ выходов схем, описанных в разд. 7.2, для произвольной последовательности на входе. Последовательности входных или выходных символов обозначаются

где первый символ. (Некоторое неудобство связано с тем, что здесь индексы возрастают в зависимости от времени, в то время как мы условились всегда записывать многочлены, начиная с коэффициентов при степенях высших порядков; однако любой другой способ

обозначений также привел бы к некоторым, конечно, не слишком существенным трудностям.)

Проще всего формулировать результаты, используя понятие преобразования последовательности,

Эту запись можно рассматривать также как формальный степенной ряд или просто как способ обозначения последовательности.

После умножения последовательности на D

получается та же самая последовательность, сдвинутая на один символ. Поэтому D можно рассматривать как оператор сдвига. При действиях с многочленами умножение многочлена на X равносильно сдвигу коэффициентов на одно место, а умножение на равносильно сдвигу в противоположную сторону на одно место. Таким образом, в некотором смысле .

Прямой анализ операций умножения, производимых с помощью схем, изображенных на рис. 7.2 и на рис. 7.3, показывает, что в каждой из этих схем связь между входной последовательностью и выходной последовательностью задается разностным уравнением

где многочлен, двойственный к многочлену (Предполагается, что во всех разрядах вначале содержатся нули.) Таким образом, в этих схемах происходит просто умножение входной последовательности на Многочлен называется передаточной функцией для этих схем. Конечно, эти схемы были предназначены для умножения. Причина того, что в них происходит умножение на двойственный многочлен заключается в том, что

Аналогично для схемы, изображенной на рис. 7.4, входные последовательности связаны с выходной последовательностью разностным уравнением

Пример. Пусть на вход каждой из схем, изображенных на рис. 7.5, подается последовательность Формально перемножая преобразование входной последовательности

я передаточную функцию получим

и это произведение может быть вычислено по заданным символам входной последовательности. Оно равно преобразованию выходной последовательности схемы.

Схема, изображенная на рис. 7.6, предназначена для деления, причем деление можно производить даже для входных последовательностей бесконечной длины. Если преобразование входной последовательности разделить формально на многочлен то результат этого деления равен преобразованию выходной последовательности. Аналогично схема, предназначенная для умножения многочленов на и для деления результата на если не учитывать возможную задержку, дает тот же самый результат, к которому приводят формальное умножение на и деление на

Пример. Если вход схемы, показанной на рис. 7.7, равен то выход равен Это можно проверить, прослеживая работу схемы, но можно получить и формальным делением преобразования входа на Сравните этот пример с примером на где та же самая входная последовательность использовалась в другом контексте.

Работа схемы для деления также описывается некоторым разностным уравнением. Это уравнение следующим образом может быть выведено из уравнения, которое описывает схему для умножения. Схема для умножения с двумя входами, изображенная на рис. 7.4, сводится к схеме для деления, изображенной на рис. 7.8, если

и если выход умножается на и используется одновременно как частное и как второй вход. Тогда уравнение (7.14) можно записать в виде

и

Подставляя последнее равенство в выражение (7.16) и приводя подобные члены, находим искомое разностное уравнение

Деля формально обе части его на для того, чтобы разрешить уравнение относительно получаем

Частное называется передаточной функцией рассматриваемой схемы. Необходимо отметить, что для схемы, показанной на рис. 7.8, степени обоих многочленов должны быть равны Равенства (7.18) и (7.19) выполняются и для других случаев, если только выбирается, как как

Пример. Передаточная функция схемы, изображенной на рис. 7.7, равна

Для схемы, изображенной на рис. 7.9, передаточная функция равна

а для схемы, изображенной на рис. 7.10,

Может случиться, что выход схемы отличен от нуля, хотя входная последовательность состоит только из нулей. Так может быть в том случае, если с самого начала во всех разрядах находились ненулевые элементы. Такая последовательность аналогична переходному отклику электрической цепи.

Предположим, что передаточная функция схемы

Тогда вход и выход связаны соотношением и поскольку на вход подается нулевая последовательность, то

Коэффициенты при каждой степени D должны быть равны 0. Таким образом, коэффициент при можно записать так:

Решення этого уравнения полностью характеризуются теоремой 7.1 из разд. 7.4.

Пример. Легко проверить, что схема, изображенная на рис. 7.7, при начальном условии и нулевом входе дает на выходе последовательность

Для схемы с заданными начальными условиями может существовать такая входная последовательность, что соответствующая ей последовательность на выходе будет содержать одни нули. Эта входная последовательность называется нулевой последовательностью заданной схемы. Предположим снова, что передаточная функция схемы равна Тогда ее вход и выход связаны разностным уравнением

Для нулевой последовательности следовательно,

или

Далее, если то также и а выходная последовательность является переходным откликом схемы. показать, что каждому решению уравнения (7.23) соответствует совокупность начальных условий, для каждого из которых выходная последовательность будет нулевой. Таким образом, среди решений уравнения (7.23) содержится нулевое решение. Все решения уравнения (7.23) описываются теоремой 7.1 из разд. 7,4.

Пример. На практике легче найти нулевую последовательность, соответствующую заданному набору начальных условий, чем найти начальные условия, соответствующие заданной нулевой последовательности. Рассмотрим схему, показанную на рис. 7.5,а, с начальными условиями (100000). Тогда если выход равен 0, то первый символ входа должен быть равен 1, так как после сдвига содержимое регистра равно Теперь для того, чтобы выход был равен 0, следующий символ на входе должен быть нулем, и после сдвига содержимое регистра должно быть равно Продолжая рассуждать таким образом, можно найти, что нулевая последовательность должна иметь вид где выписанная комбинация символов повторяется с периодом, равным 15. Это та же последовательность, которая была найдена в предыдущем примере, что вполне согласуется с тем фактом, что в обоих случаях последовательности должны удовлетворять одному и тому же разностному уравнению