3. Критерий Коши существования предела функции.

Ради определенности рассмотрим подробно случай предела функции в точке а, введенного определениями 1 и 1°.

Определение. Будем говорить, что функция удовлетворяет в точке а условию Коши, если для любого положительного числа найдется отвечающее ему положительное число такое, что для любых двух значений аргумента удовлетворяющих условиям

справедливо неравенство

Теорема 3.20 (критерий Коши существования предела функции в точке а). Для того чтобы функция имела в точке а конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы функция удовлетворяла в точке а условию Лоши.

Доказательство. 1) Необходимость. Пусть существует конечный предел Фиксируем произвольное положительное число . В силу определения 1 предела функции по Коши для положительного числа найдется положительное число такое, что, каковы бы ни были два значения аргумента удовлетворяющие условиям для соответствующих значений функции справедливы неравенства

Так как модуль суммы двух величин не превосходит суммы модулей, то в силу неравенств (3.62) мы получим, что

а это и означает, что функция удовлетворяет в точке а условию Коши.

2) Достаточность. Пусть функция удовлетворяет в точке условию Коши. Требуется доказать, что функция имеет точке а предел. Пусть — произвольная последовательность значений аргумента, сходящаяся к а и состоящая из чисел, отличных от а. В силу определения 1 предела по Гейне достаточно доказать, что соответствующая последовательность значений функции сходится к некоторому числу b и что это число b одно и то же для всех сходящихся к а последовательностей состоящих из чисел, отличных от а.

Докажем сначала, что для каждой сходящейся к а последовательности значений аргумента, отличных от а, соответствующая последовательность значений функции сходится к некоторому пределу. Фиксируем произвольное положительное число и по нему отвечающее ему, согласно условию Коши, положительное число . В силу сходимости последовательности к а и в силу условия хпфа для этого найдется номер такой, что при Если теперь — любое натуральное число то тем более при

Таким образом, при и для любого натурального справедливы два неравенства:

Из этих двух неравенств и из условия Коши вытекает, что при и для любого натурального

а это означает фундаментальность последовательности . В силу критерия Коши сходимости числовой последовательности (см. теорему 3.18) последовательность сходится к некоторому числу

Остается доказать, что для любых двух сходящихся к а последовательностей значений аргумента все элементы которых отличны от а, соответствующие последовательности значений функции сходятся к одному и тому же пределу. Предположим, что последовательности сходятся к пределам Ь и Ь соответственно. Рассмотрим новую последовательность значений аргумента также сходящуюся к а и состоящую из чисел, отличных от а. В силу доказанного выше соответствующая последовательность значений функции обязана сходиться к некоторому пределу Но тогда в силу утверждения, доказанного в начале § 3, и любая подпоследовательность этой последовательности обязана сходиться к тому же самому пределу Значит, как подпоследовательность нечетных элементов так и подпоследовательность четных элементов обе сходятся к Отсюда вытекает, что Теорема полностью доказана.

Аналогично формулируется условие Коши и доказывается критерий Коши и для случаев правого [левого] предела в точке а, предела при и предела при

При формулировке условия Коши достаточно в приведенном выше определении заменить условия (3.60) для случая правого [левого] предела в точке а условиями

для случая предела при условиями

и, наконец, для случая предела при условиями

Соответствующие критерии Коши доказываются по схеме доказательства теоремы 3.20: следует только во всех рассуждениях понимать под последовательностями значений аргумента в случае правого [левого] предела в точке а последовательности, сходящиеся к а и состоящие из чисел, больших а [меньших а], в случае предела при бесконечно большие последовательности и, наконеп, случае предела при бесконечно

большие последовательности, состоящие из положительных [отрицательных] чисел.