45 Метод Римана.

Мы переходим теперь к решению задачи Коши и начнем со случая линейного уравнения с двумя независимыми переменными, причем берем это уравнение уже приведенным к нормальной форме:

В дальнейшем часто мы не будем выписывать аргументы у коэффициентов и свободного члена. Через мы обозначили левую часть уравнения. Напомним, что основное условие (32), определяющее характеристики, для написанного уравнения имеет вид так что характеристиками уравнения (84)

будут прямые параллельные осям. Наряду с оператором рассмотрим так называемый сопряженный оператор, который определяется следующим образом

Коэффициенты а и b мы считаем при этом, конечно, непрерывно дифференцируемыми. Пользуясь выражениями для , нетрудно проверить следующее элементарное тождество:

Рассмотрим на плоскости некоторую область D с границей А. и положим, что функции и и v имеют в области D непрерывные производные первйго порядка и непрерывную смешанную производную второго порядка. При этом, интегрируя обе части тождества (85) по области D и пользуясь известной формулой [II; 72]:

мы получим следующую формулу Грина:

После этих предварительных вычислений переходим к решению задачи Коши для уравнения (84).

Положим, что на плоскости нам задана некоторая линия которая пересекается не более чем в одной точке с прямыми, параллельными осям. Уравнение этой линии может быть написано в виде или Мы считаем, что существуют производные отличные от нуля, на рассматриваемом участке линии l. Ищется решение уравнения по заданиям Коши на т. е. вдоль этой линии заданы значения функции и и ее частных производных их, причем, как всегда, должно быть соблюдено условие . Мы можем считать, что и, их, заданы вдоль как функции только от или только от

При этом предполагается, что функция, дающая значения и на имеет непрерывную производную, а их и непрерывные функции. Коэффициенты а и как мы упоминали выше, по предположению имеют непрерывные частные производные, а с и f — непрерывны в той области, содержащей к которой

будут относиться дальнейшие рассуждения. В дальнейшем мы докажем, что при сделанных предположениях задача имеет решение. Нашей задачей сейчас является построение некоторой формулы для решения задачи в предположении, что такое решение существует.

Возьмем за область В часть плоскости ограниченную дугой линии и двумя прямыми, параллельными осям и выходящими из фиксированной точки Положим, что этой области нам известно решение однородного сопряженного уравнения:

Рис. 1.

Применяя формулу (86) к искомому решению и задачи Коши и только что упомянутому решению уравнения (87), мы получим, пользуясь уравнением (84),

Интегрирование по контуру X разбивается на интегрирование по дуге АВ кривой и по прямым ВР и РА, параллельным осям. Интеграл по дуге мы должны считать известным, так как на этой дуге нам заданы значения искомой функции и и ее обеих частных производных первого порядка. Рассмотрим интегралы по упомянутым прямым. Вдоль РА меняется только х, и, следовательно, при интегрировании по РА, мы получим интеграл

Подынтегральную функцию мы можем переписать в виде

и, следовательно, будет:

где, например, есть значение произведения в точке Р.

Совершенно так же интегрирование по ВР даст нам следующий результат:

Формула (88) может быть переписана следующим образом:

Положим, что нам известно не какое-нибудь решение уравнения (87), а решение этого уравнения, удовлетворяющее на прямых РА и РВ следующим условиям:

и притом такое, что . В таком случае в формуле (89) пропадут интегралы по РА и РВ, и мы получим следующую формулу, выражающую значение искомой функции в точке Р, координаты которой обозначим через

Выясним теперь более подробно те условия, которым должно удовлетворять решение v уравнения (87). Вдоль прямой РА мы должны иметь

Это уравнение можно рассматривать как обыкновенное дифференциальное уравнение по отношению к независимой переменной и, интегрируя его, мы получаем следующие значения v на прямой РА:

Совершенно так же на прямой РВ мы получим

При этом в самой точке мы будем иметь . Итак, решение v уравнения (87) должно иметь на прямых РА и РВ заданные значения, определяемые формулами (91) и (92).

Оно будет зависеть, конечно, от выбора точки т. е., по существу говоря, оно будет функцией пары точек. Обозначим его Через

Это решение уравнения (87), удовлетворяющее условиям (91) и (92), называется функцией Римана. Эта функция не зависит ни от данных Коши на , ни от вида этого контура. Для нее точка играет роль аргумента, а точка роль параметра. Оуметим, что мы могли бы доказать существование решения задачи путем непосредственной проверки того, что формула (90) действительно дает функцию которая удовлетворяет уравнению (84) и условиям на l. Такая проверка представляет некоторые затруднения, и мы дадим в одном из следующих параграфов иное доказательство существования решения задачи Коши.

Изложенный выше метод Римана приводит решение задачи Коши к нахождению функции Римана (93). Сама эта функция является решением однородного уравнения (87) того же типа, что и уравнение (84), но с добавочными условиями, совершенно отличными от условий Коши, а именно, как мы видели выше, задаются значения только самой функции v на двух характеристиках РА и РВ, выходящих из заданной точки Р. В дальнейшем мы докажем существование функции Римана. Заметим еще, что основная формула (90) получена нами в предположении, что решение задачи существует. Таким образом, если решение задачи существует, то оно должно обязательно выражаться формулой (90), и тем самым доказана единственность решения задачи Коши. Но остается еще показать, что формула (90) действительно дает решение задачи. Дальше мы докажем не только существование функции Римана, но и существование решения задачи Коши, а тем самым будет доказан и тот факт, что формула (90) дает действительно решение задачи.

Считая пока все указанные выше теоремы существования доказанными, мы перейдем к выяснению некоторых следствий из формулы (90). Как мы только что упоминали выше, эта формула показывает единственность решения задачи. Кроме того, из этой формулы непосредственно вытекает, что если мы достаточно мало изменим данные Коши на контуре то и решение задачи изменится на сколь угодно малую величину, т. е. решение задачи Коши непрерывно зависит от начальных данных. Кроме того, из формулы (90) непосредственно вытекает, что значение искомой функции и в точке Р зависит только от начальных данных, распределенных на дуге АВ линии . Если мы продолжим начальные данные, заданные на дуге АВ, за эту дугу двумя различными способами, сохраняя непрерывность этих начальных

данных в точках Л и В, то получим вне криволинейного треугольника РАВ два различных решения задачи Коши, т. е., точнее говоря, мы будем иметь две различные системы данных Коши, которым будут соответствовать два различных решения задачи Коши, но эти решения будут совпадать в криволинейном треугольнике РАВ, поскольку начальные данные в обеих задачах совпадают вдоль дуги АВ. Характеристики РА и РВ будут теми линиями, вдоль которых решения, одинаковые в упомянутом треугольнике, расщепятся на два различных решения.

Рис. 2.

Все рассуждения настоящего параграфа не предполагают, конечно, аналитичности функций. Отметим роль того условия, что прямые, параллельные осям, т. е. характеристики, пересекают линию не более, чем в одной точке. Возьмем (рис. 2) линию которая пересекается прямыми, параллельными оси в двух точках, и положим, что на ней заданы начальные данные Коши. Применяя метод Римана, мы можем определить значение искомой функции и в точке Р; пользуясь или криволинейным треугольником РАВ, или криволинейным треугольником РВС. Полученные две формулы дадут, вообще говоря, в точке Р разные результаты для и, и, таким образом, задача окажется неразрешимой.