ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

На рубеже 40-х и 50-х годов произошли коренные изменения в характере взаимоотношений между теорией вероятностей и математическим анализом: если прежде вероятностные задачи решались аналитическими методами, то теперь все большее применение стали находить вероятностные методы для решения аналитических задач. На стыке двух математических дисциплин стала быстро развиваться новая область, которую можно условно назвать вероятностным анализом. Одним из сильнейших орудий в этой области являются стохастические интегралы и основанные на них стохастические дифференциальные уравнения. Они позволяют строить широкие классы случайных процессов, отправляясь от простейшего процесса — броуновского движения, и дают возможность сводить задачи об эллиптических и параболических уравнениях с частными производными к исследованию системы обыкновенных дифференциальных уравнений, хотя и стохастических. Аппарат стохастических интегралов широко используется в теории оптимального управления.

Теория стохастических дифференциальных уравнений была создана 20—25 лет назад независимо друг от друга К. Ито и И. И. Гихманом. Их предшественниками были С. Н. Бернштейн и Н. Винер.

Основные результаты о стохастических интегралах и стохастических дифференциальных уравнениях изложены в ряде монографий (Дуб [1], Скороход [2],

Дынкин [3], Гихман и Скороход [2]). Современное состояние теории хорошо отражено в недавно вышедшей монографии Гихмана и Скорохода [1]. Написанная также на вполне современном уровне книга Маккина значительно меньше по объему, содержит больше конкретных примеров и применений и поэтому больше подходит для первоначального ознакомления с предметом. Важными достоинствами книги являются живой и неформальный стиль, продуманный и свежий отбор материала, четкое изложение доказательств (все сколько-нибудь длинные доказательства явно расчленяются на отдельные шаги). Книгу можно рассматривать как естественное дополнение к совместной монографии Ито и Маккина [1], где стохастические интегралы вовсе не рассматриваются. Однако читать обе книги можно независимо.

Книга содержит ряд новинок методического характера, позволяющих существенно упростить доказательства. Вместе с тем необходимо отметить, что лаконичный стиль изложения предъявляет высокие требования к культуре читателя и требует от него значительной самостоятельной работы. Менее подготовленному читателю может помочь разделение всего материала на основной и дополнительный (сам автор такого разделения не проводит). При первом чтении целесообразно детально изучить фундаментальные понятия, изложенные в разд. 1.1 - 1.4, 1.7, 2.1-2.4, 2.6, 2.7, 2.9, 3.1-3.5, 4.1-4.4, бегло просмотрев остальные. В дальнейшем читателю несомненно захочется разобраться глубже в содержании этих дополнительных разделов. Читать их можно почти независимо друг от друга, но в целом они дают яркую картину связей предмета книги чуть ли не со всеми разделами математики. Прежде чем приступать к чтению, читателю рекомендуется ознакомиться с указателем обозначений, помещенным в конце книги.

Конечно, книга далеко не исчерпывает всех направлений теории стохастических интегралов. Некоторые из них хорошо освещены в упоминавшейся выше монографии Гихмана и Скорохода (стохастические

дифференциальные уравнения для разрывных процессов, асимптотическое поведение решений, предельные теоремы). Дополнительные указания относительно литературы можно найти в обзоре Фрейдлина [1]. Из более новых работ, еще не отраженных в монографической литературе, отметим исследования Вентцеля и Фрейдлина [1], о малых возмущениях динамических систем, работы Липцера и Ширяева [1], Фуджисаки, Каллинапура и Куниты [1] по нелинейной фильтрации, а также содержащие совершенно новый подход к решению стохастических дифференциальных уравнений работы Струка и Варадана [1, 2]. Последние тесно связаны с общей теорией стохастического интегрирования относительно мартингалов, развивавшейся Скороходом [3, 4], Кунитой и Ватанабе [1], Мейером [1] и другими авторами.

Книга Маккина будет полезна многим категориям читателей: начинающим математикам, специализирующимся по теории вероятностей; физикам и инженерам, заинтересованным в приложениях стохастических уравнений, и, наконец, специалистам по теории случайных процессов и по теории дифференциальных уравнений с частными производными.

Е. Б. Дынкин

ПРЕДИСЛОВИЕ

В этой книге рассматривается специальный раздел теории диффузионных процессов: дифференциальное и интегральное исчисления, основанные на броуновском движении. Грубо говоря, это обычный анализ гладких функций, с той лишь разницей, что при вычислении дифференциала гладкой функции от одномерной броуновской траектории нужно брать два члена степенного разложения и заменять на

или, что то же самое,

Это исчисление обладает рядом новых черт, например роль экспоненты играет вместо обычной Главное преимущество этого аппарата вытекает из того, что всякую гладкую диффузию можно рассматривать как неупреждающий функционал от броуновской траектории, так что является решением стохастического дифференциального уравнения

с гладкими коэффициентами Последнее уравнение задает очень сложное нелинейное преобразование пространства траекторий, которое едва ли можно назвать явным. Но оно достаточно конкретно и гибко, чтобы дать возможность уяснить многие важные свойства

Хотя книга адресована главным образом математикам, хочется надеяться, что в ней найдется кое-что полезное и для тех, кто применяет вероятностные модели в прикладных задачах. По поводу приложений к статистической механике можно обращаться к Чандрасекару [1], Уленбеку и Орнштейну [1] и Уленбеку и Вангу [1]. Предполагается, что математическая подготовка читателя находится примерно на уровне первого тома Куранта и Гильберта [1], еще лучше — уровень книги Иосида [2]. Необходимо также некоторое знакомство с понятиями интегрирования, -полей, независимости, условных вероятностей и математических ожиданий, с леммами Бореля-Кантелли и т. п. Для подготовки идеальна первая часть лекций Ито [9]. За дополнительными общими сведениями можно обращаться к Дынкину [3].

Добавочные сведения о броуновском движении см. у Ито и Маккина [1]. Глава 1 и примерно треть разд. 4.6 представляют собой переработку книги Ито и Маккина; других пересечений с этой книгой нет. Около половины материала, составляющего содержание гл. 2 и 3 и разд. 4.3, можно найти у Ито [9] и Скорохода [2], но доказательства по большей части новые. В конце большинства разделов помещены задачи с решениями. Читатель должен относиться к ним как к неотъемлемой части текста.

Я хочу поблагодарить К. Ито за наши беседы на протяжении десяти лет. Значительная часть этой книги обсуждалась с ним, и я посвящаю ему этот труд в знак любви и благодарности. Я должен поблагодарить также Г. Коннера Ф. Грюнбаума, Ж. Рота, И. Зингера, Д. Струка, С. Варадана и слушателей из аудитории 18.54 (МТИ) 1965, особенно 0‘Нила, за ценные сведения, исправления и (или) полезные замечания. Я признателен Национальному научному фонду (NSF) за поддержку, оказанную мне в 1965 г.

Саут-Лендафф, Нью-Гэмпшир

Г. Маккин