3.5. Прямое уравнение

Определим как формально сопряженное с дифференциальное выражение: Используя результаты разд. 2.3 и лемму Вейля (разд. 4.2), не составляет труда проверить, что для коэффициентов класса оператор G управляет диффузией в том смысле, что плотность является наименьшим фундаментальным решением прямого уравнения с полюсом в точке Это значит, что

точки

Шаг 1

Частный случай леммы Вейля (разд. 4.2) устанавливает, что если функция и является (формальной) плотностью некоторого распределения масс на и если для любой финитной функции

то функцию и можно так модифицировать (исправив ее значения на множестве меры 0), чтобы она принадлежала классу после модификации функция и удовлетворяет уравнению

в обычном смысле. Применим теперь эту лемму к (формальной) плотности следующим образом. Из леммы Ито следует, что

поскольку из финитности следует, что то Отсюда

Теперь лемма Вейля обеспечивает существование функции такой, что как формальные плотности на ( Но тогда для финитных и любого так как оба интеграла непрерывны при Отсюда следует, что плотность действительно существует и удовлетворяет условиям Прочие свойства (кроме очевидны. Доказательству посвящены следующие два шага.

Шаг 2

Для доказательства потребуется некоторая подготовка. Положим и рассмотрим неотрицательную финитную функцию Позаимствуем из литературы тот факт, что в полосе уравнение при условиях и имеет единственное

неотрицательное решение и По лемме Ито имеем при

так что

т. е.

Шаг 3

Возвращаясь к доказательству свойства возьмем второе элементарное решение с полюсом в точке Определим при

и заметим, что

(так как Но тогда

и нужная нам оценка следует из неравенства

Задача 1. Выведите из леммы Вейля и результатов шага 2, что для финитной неотрицательной

функции интеграл представляет собой наименьшее неотрицательное решение уравнения принадлежащее и обращающееся в при

Решение. Согласно шагу 2, функция для любого 1 удовлетворяет уравнению при Но тогда для предельной функции выполняется равенство

где произвольная финитная функция класса Из леммы Вейля мы можем теперь заключить, что функция их удовлетворяет уравнению и в обычном смысле. Допустим теперь, что — второе неотрицательное решение той же задачи. По лемме Ито при

так что

а последнее выражение, монотонно возрастая, стремится к при

Задача 2. Рассмотрим как функцию трех аргументов Проверьте, что функция принадлежит классу и удовлетворяет обратному уравнению

Рекомендуется применить лемму Вейля (разд. 4.2) к оператору

Решение. Пусть заданы финитные функции

Имеем

Здесь первый интеграл равен нулю по причинам, изложенным в шаге 1, а второй можно рассмотреть, слегка уточнив метод задачи 1. Но тогда

для всех финитных и так как оператор К эллиптичен на то из леммы Вейля вытекает существование функции такой, что совпадают как формальные плотности на Но тогда интегралы совпадают с точностью до множества нулевой меры на Доказательство, как и в шаге 2, заканчивается проверкой того, что последний интеграл принадлежит