1.2. Построение броуновского движения

Рассмотрим пространство непрерывных путей выходящих из нуля и определим вероятности

где

Это определение корректно, так как

Семейство величин является гауссовским, причем

Винер [1, 2] доказал, что можно продолжить до вполне аддитивной меры на наименьшем поле содержащем все события Пространство непрерывных функций с построенной таким образом вероятностной мерой и называется броуновским движением. Приведем элегантное доказательство этого факта, предложенное Леви [2] и упрощенное Тесельским [1].

Красивая идея Тесельского состоит в использовании функций Хаара:

определенных для 1, нечетных Добавим к ним Функции Хаара образуют ортонормированный базис в Действительно,

в зависимости от того, выполняется или нет равенство Если функция ортогональна всем функциям Хаара, то интеграл

один и тот же для всех так что при любых двоично-рациональных . Отсюда немедленно следует, что Вычислим теперь (чисто формально) коэффициенты

Хаара для «белого шума»

Заметим, что набор при нечетных с добавлением образует гауссовское семейство, для которого

отметим также, что наши коэффициенты независимы, так как

Идея Леви состоит в использовании формального ряда Хаара

для построения броуновского движения

Рассмотрим с этой целью гауссовское семейство при или нечетных с отмеченными выше свойствами и определим процесс

Будет доказано, что этот ряд равномерно сходится при 1 к непрерывной (случайной) функции с нужным распределением.

В силу того что так называемые функции Шаудера представляют собой маленькие «домики» высоты (рис. 1), не пересекающиеся при различных нечетных понятно, что

Рис. 1.

Таким образом, можно получить следующую оценку:

Но если общий член сходящейся суммы, так что по первой лемме Бореля —

Кантелли

откуда следует равномерная сходимость нужного нам ряда. Так как множество величин является, очевидно, гауссовским семейством, то остается убедиться в справедливости равенства

Здесь мы воспользовались равенством Парсеваля для рядов по системе Хаара, применив его к индикаторам интервалов

Конструкцию Леви — Тесельского теперь можно продолжить с отрезка [0, 1] на всю полуось склеивая независимые экземпляры процессов (каждый из которых задается рядом Хаара) по правилу

Так как равенство по-прежнему выполняется, то построенное таким образом броуновское движение имеет нужное распределение.