4.6. Накрывающие броуновские движения

Используя лемму можно дать изящное доказательство результата Леви, состоящего в том, что двумерная броуновская траектория конформно инвариантна]). Последнее означает, что если стандартное броуновское движение в отличная от постоянной аналитическая функция, определенная в содержащей области то до момента первого выхода процесса из процесс также представляет собой броуновское движение с новым временем

Специально отметим, что если риманова поверхность над то броуновскую траекторию можно поднять на обращая проекцию и на каждой карте поверхности с локальными координатами эта накрывающая траектория играет роль соответствующего стандартного броуновского движения протекающего во времени

Доказательство.

Воспользуемся уравнениями Коши-Римана и тем обстоятельством, что Применив лемму получим

Положим тогда неупреждающий функционал от так что некоторое новое броуновское стандартное движение. Итак, причем неупреждающий функционал от Несколько обобщив правило замены времени разд. 2.5, можно показать теперь, что до момента

также есть броуновское движение, чем и завершим доказательство.

Конформная инвариантность, помимо самостоятельного интереса, находит занятные приложения к задаче о скручивании двумерной броуновской траектории. Этот вопрос будет обсужден ниже. При этом понадобятся некоторые сведения о группах накрытий, модулярных группах второго рода и модуле Якоби Соответствующую информацию можно найти у Ленера [1] и Вейля [1]. Кроме этого, нужно также знать, что двумерная броуновская траектория бесконечное число раз при посещает каждый круг.

Доказательство.

Проколотая сфера отображается с помощью стереографической проекции

на плоскость Сферическое броуновское движение управляется оператором имеющим в сферических координатах вид

В силу конформности стереографической проекции процесс представляет собой (локально) броуновское движение в новом времени. Если то так что 5 не может достигнуть южного полюса при Поскольку оператор перестановочен со сферическими вращениями, то не может достигнуть и северного полюса (0, 0, 1). Но это значит, что при проекция при 0 вполне определена. Тот факт, что при процесс I бесконечное число раз посещает любой кружок на сфере, немедленно находит отражение в том, что процесс бесконечное число раз достигает любого круга на плоскости.

Рассмотрим риманову поверхность функции как плоскость, разделенную на горизонтальные полосы ширины с проекцией отображающей каждую полосу на проколотую плоскость (рис. 2). Поверхность можно рассматривать как универсальную накрывающую для Вследствие этого группа накрытия изоморфна фундаментальной группе области Поскольку броуновское движение на плоскости никогда не достигает 0, если то броуновское движение

в можно поднять на Леви утверждает, что поднятая траектория является броуновским движением в новом времени. Отсюда следует, что поднятая траектория бесконечное число раз при посещает любой круг.

Рис. 2.

Рассматривая как универсальную накрывающую поверхность для мы заключаем теперь, что двумерная броуновская траектория делает бесконечное число оборотов вокруг О как по часовой, так и против часовой стрелки, если при этом она бесконечное число раз раскручивается. Это просто отражение того факта, что накрывающее движение неограниченно курсирует по вертикали, но бесконечно много раз возвращается в полосу при

Определим отображение открытой верхней полуплоскости Если задан параметр то функция, обратная к эллиптическому интегралу

есть эллиптическая функция Якоби. Модуль Якоби выраженный отношением ее фундаментальных периодов, задает отображение полуплоскости на

дважды проколотую плоскость При этом модулярная функция группы дробно-линейных преобразований

(модулярная группа второго рода). Группа переводит полуплоскость в себя и делит ее в соответствии со своим действием на конгруэнтные листы, как это показано на рис. 3.

Рис. 3.

Функция взаимно однозначно отображает каждый такой лист на Теперь можно рассматривать как универсальную накрывающую для дважды проколотой плоскости Группа является при этом и группой накрытия и фундаментальной группой для как таковая она изоморфна свободной группе с двумя образующими. Двумерное броуновское движение не достигает точек 0 и 1, если только или так что его траектории можно поднять с проколотой плоскости на Результат поднятия на будет также броуновским движением,

но в новом времени. Поскольку полуплоскость, то при накрывающее движение стремится к границе Из того что каждый лист полуплоскости соответствует какому-то элементу фундаментальной группы нетрудно вывести, что в отличие от случая плоскости, проколотой один раз, картина закручивания броуновской траектории вокруг точек 0 и 1 становится при все более и более сложной и, начиная с некоторого момента, траектория никогда не раскрутится.

Рассмотрим риманову поверхность накрывающую и имеющую в качестве группы накрытия коммутативную группу с двумя образующими Поверхность можно реализовать как риманову поверхность функции и тогда ее возможно описать как счетное число копий римановой поверхности функции соединенных между собой в точках логарифмического ветвления. Группа это попросту группа сделанная коммутативной, точнее, изоморфна факторгруппе по ее коммутанту. Можно отождествить с группой гомологий многообразия Поднимем броуновскую траекторию с на Теорема Леви утверждает, что это поднятие представляет собой броуновское движение на происходящее в новом времени. Но это броуновское движение посещает при каждый кружок на бесконечно много раз (доказательство приводится ниже), так что при закручивании плоской броуновской траектории вокруг точек 0 и 1 она бесконечное число раз при «распутывается» с точки зрения целочисленных гомологий.

Доказательство бесконечно частого посещения броуновским движением любого круга на при

Пусть коммутант группы Точка 1—1 переходит под действием коммутатора

в точку, которая сходится при Если первый множитель пробегает взаимно просты, четно, нечетно), то дроби всюду плотны на границе Группа действует из Это так называемая основная модулярная группа первого рода, и по теореме Пуанкаре получим

Рассмотрим теперь стандартное броуновское движение протекающее во времени обратном к функционалу Ясно, что величина определена до момента где время первого выхода процесса из Последний интеграл бесконечен, так как

Но тогда проекция процесса на является броуновским движением, происходящим в новом времени, которое определяется как функция Среднее время пребывания процесса в области

с индикатором задается формулой

Из инвариантности элемента объема относительно действия группы непосредственно следует, что среднее время, которое процесс проводит в проекции круга равно

Так как процесс совпадает с точностью до замены времени с плоским броуновским движением, поднятым с на то осталось проверить, что посещает бесконечно много раз при каждый круг в Убедиться в этом не составит труда, если вспомнить, что среднее время пребывания в круге бесконечно и что процесс начинается заново в каждый момент достижения. В самом деле, пусть

замкнутый круг, расположенный в большем круге В последовательные моменты достижения процессом множества после пребывания в Обозначим через функции и

начальной точки ; тогда полное среднее время пребывания в представляется в виде

Если внешний круг В достаточно мал, то функция ограничена на Это легко получить, опуская процесс на Функция а гармонична вне поэтому из расходимости ряда следует, что Отсюда в некоторой точке окружности и в результате Доказательство закончено.