1. БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ

Введение

Главные имена, связанные с предметом данной книги — Винер и К. Ито.

Винер [1, 2] заложил основы строгой математической теории броуновского движения, доказав существование вполне аддитивного распределения масс с полной массой 1, определенного на классе всех непрерывных путей соотношением

где Винер доказал также, что броуновская траектория нигде не дифференцируема. В силу этого интегралы вида не могут быть определены обычным образом. Винер и др. [1] обошли эту трудность, положив

для подходящих функций из [0, 1] и распространив затем этот интеграл на с помощью изометрии

Формула Камерона-Мартина для якобиана параллельного переноса в пространстве путей, решение задач прогноза, данное Винером [4], и предложенное

Леви представление гауссовских процессов интегралами по «белому шуму» могут рассматриваться как наиболее глубокие приложения интеграла Винера — Пэли.

Ито [1] распространил этот интеграл на широкий класс (неупреждающих) функционалов от броуновской траектории, для которых и создал мощный аппарат соответствующих дифференциалов. Удивительные черты броуновского интеграла в стиле формулы

нашли простое объяснение в формуле Ито для броуновского дифференциала функции

Ито использовал свой интеграл для построения диффузии, связанной с эллиптическим дифференциальным оператором на гладком многообразии При где принадлежат пространству соответствующая диффузия является (неупреждающим) решением интегрального уравнения

Еще ранее попытка в этом направлении была сделана Бернштейном. Гихман [1] завершил программу Бернштейна независимо от Ито.

Целые этой небольшой книги является разъяснение идей Ито в сжатой, но (хочется надеяться) удобной для чтения форме. Основные темы перечислены в оглавлении. Нововведением является использование экспоненциального мартингала

при выводе мощной оценки

Это неравенство постоянно используется ниже и, по моему опыту, приводит к наилучшим возможным оценкам (хотя зачастую их оптимальность непросто доказать). Другой новинкой (для специалистов по теории вероятностей) является применение леммы Вейля для проверки гладкости решений параболиче ских уравнений вида