Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 1. БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕВведениеГлавные имена, связанные с предметом данной книги — Винер и К. Ито. Винер [1, 2] заложил основы строгой математической теории броуновского движения, доказав существование вполне аддитивного распределения масс с полной массой 1, определенного на классе всех непрерывных путей соотношением
где Винер доказал также, что броуновская траектория нигде не дифференцируема. В силу этого интегралы вида не могут быть определены обычным образом. Винер и др. [1] обошли эту трудность, положив
для подходящих функций из [0, 1] и распространив затем этот интеграл на с помощью изометрии
Формула Камерона-Мартина для якобиана параллельного переноса в пространстве путей, решение задач прогноза, данное Винером [4], и предложенное Леви представление гауссовских процессов интегралами по «белому шуму» могут рассматриваться как наиболее глубокие приложения интеграла Винера — Пэли. Ито [1] распространил этот интеграл на широкий класс (неупреждающих) функционалов от броуновской траектории, для которых и создал мощный аппарат соответствующих дифференциалов. Удивительные черты броуновского интеграла в стиле формулы
нашли простое объяснение в формуле Ито для броуновского дифференциала функции
Ито использовал свой интеграл для построения диффузии, связанной с эллиптическим дифференциальным оператором на гладком многообразии При где принадлежат пространству соответствующая диффузия является (неупреждающим) решением интегрального уравнения
Еще ранее попытка в этом направлении была сделана Бернштейном. Гихман [1] завершил программу Бернштейна независимо от Ито. Целые этой небольшой книги является разъяснение идей Ито в сжатой, но (хочется надеяться) удобной для чтения форме. Основные темы перечислены в оглавлении. Нововведением является использование экспоненциального мартингала
при выводе мощной оценки
Это неравенство постоянно используется ниже и, по моему опыту, приводит к наилучшим возможным оценкам (хотя зачастую их оптимальность непросто доказать). Другой новинкой (для специалистов по теории вероятностей) является применение леммы Вейля для проверки гладкости решений параболиче ских уравнений вида
|
1 |
Оглавление
|