1.7. Многомерное броуновское движение

Броуновское движение в -мерном пространстве — это попросту совместное движение независимых одномерных броуновских частиц . Основное поле является произведением полей, отвечающих отдельным частицам; мера на произведение соответствующих распределений. Момент называется марковским (или моментом остановки), если при любом событие принадлежит полю порожденному

Как и раньше, броуновское движение начинается заново в каждый марковский момент, т. е. если такой момент, то при условии процесс представляет собой новое

-мерное броуновское движение, не зависящее от поля значений Существенно, что при вероятность

зависит только от

Проекция -мерного броуновского движения на подпространство меньшей размерности — также броуновское движение. Используя проектирование на достаточно богатое семейство одномерных подпространств и применяя затем результаты разд. 1.5 и 1.6, нетрудно вывести многомерные варианты законов Хинчина и Леви

Броуновское движение инвариантно относительно -мерных вращений , т. е. процесс представляет собой новое броуновское движение. В силу этого радиальный процесс начинается заново в каждый момент марковский для Действительно, если марковский момент для то тем более броуновский момент остановки, так что при

Поскольку это выражение нечувствительно к вращениям движения а, оно должно зависеть лишь от Так как поле порожденное

значениями является частью поля то доказательство завершено.

Оператор ассоциирован с -мерным броуновским движением благодаря двойственной роли функции

как (а) функции Грина (фундаментального решения) уравнения теплопроводности переходной плотности броуновского движения. Радиальная часть лапласиана

в том же смысле ассоциирована с радиальным движением так что естественно назвать бесселевским процессом.

Задача 1. Используя модуль Леви для одномерного броуновского движения, проверьте, что при (Случай рассмотрен в задаче 7 разд. 2.9.)

Решение. Из выражения для модуля непрерывности броуновской траектории следует, что существование корня уравнения расположенного между влечет за собой при всех достаточно больших осуществление события

Но для одномерного броуновского движения

если только так что

При это общий член сходящейся суммы.

Доказательство завершается ссылкой на первую лемму Бореля — Кантелли.

Задача 2. При

Решение. Воспользуйтесь законом повторного логарифма из разд. 1.5, записав его в виде