1.1. Гауссовские семейства

Рассмотрим поле В событий А, В и т. д. с определенными на нем вероятностями Класс функций измеримых относительно В, называется гауссовским семейством, если для любых линейная форма имеет невырожденное гауссовское распределение

или, что то же самое

Здесь невырожденная квадратичная форма от так что плотность распределения вектора можно получить обратным преобразованием Фурье:

Форму можно привести к диагональному виду поворотом о пространства и так как якобиан поворота о — это просто то плотность легко вычисляется:

Здесь обратная к квадратичная форма от Особенно существенно, что распределение полностью определяется скалярными произведениями. д. Этот факт будет использоваться ниже без специальных комментариев. Из приведенной выше формулы вытекает, что плотность распадается на множители при ортогональном разложении пространства тогда и только тогда, когда распадается в сумму в двойственном разложении, т. е. соотношения статистической независимости и ортогональности относительно скалярного произведения совпадают.

Задача 1. Проверить оценку

Решение.