1.5. Закон повторного логарифма

Мы сейчас докажем хинчиновский закон повторного логарифма

используя неравенство для мартингалов из разд. 1.4 и тот факт, что является мартингалом при любом выборе а Этот метод будет неоднократно применяться в дальнейшем, так что читателю следует полностью разобраться в этом простейшем случае. Так как и также являются броуновскими движениями, то из хинчиновского закона следует, что

и

Доказательство неравенства

Заметим, что — мартингал относительно броуновских полей . Действительно,

Если теперь взять и положить то и» учитывая первый шаг доказательства, получаем

Итак, доказано, что мартингал, и теперь можно применять неравенство для мартингалов из разд. 1.4. Получим

Определим и зафиксируем числа Тогда общий член сходящегося ряда. Применяя только что доказанную оценку, получаем

и из первой леммы Бореля — Кантеллй следует, что

В частности, при и

поскольку при малых Положив получаем что и требовалось.

Доказательство неравенства

Определим последовательность независимых событий

Из задачи 1 разд. 1.1 следует, что выражение

является общим членом расходящегося ряда (так как Применяя вторую лемму Бореля — Кантелли, заключаем, что для бесконечно многих Но, с другой стороны, при (по доказанному ранее); поэтому

начиная с некоторого номера Значит, Чтобы завершить доказательство, достаточно положить