Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 1.5. Закон повторного логарифмаМы сейчас докажем хинчиновский закон повторного логарифма
используя неравенство для мартингалов из разд. 1.4 и тот факт, что является мартингалом при любом выборе а Этот метод будет неоднократно применяться в дальнейшем, так что читателю следует полностью разобраться в этом простейшем случае. Так как и также являются броуновскими движениями, то из хинчиновского закона следует, что
и
Доказательство неравенства
Заметим, что — мартингал относительно броуновских полей . Действительно,
Если теперь взять и положить то и» учитывая первый шаг доказательства, получаем
Итак, доказано, что мартингал, и теперь можно применять неравенство для мартингалов из разд. 1.4. Получим
Определим и зафиксируем числа Тогда общий член сходящегося ряда. Применяя только что доказанную оценку, получаем
и из первой леммы Бореля — Кантеллй следует, что
В частности, при и
поскольку при малых Положив получаем что и требовалось. Доказательство неравенства
Определим последовательность независимых событий
Из задачи 1 разд. 1.1 следует, что выражение
является общим членом расходящегося ряда (так как Применяя вторую лемму Бореля — Кантелли, заключаем, что для бесконечно многих Но, с другой стороны, при (по доказанному ранее); поэтому
начиная с некоторого номера Значит, Чтобы завершить доказательство, достаточно положить
|
1 |
Оглавление
|