Главная > Стохастические интегралы
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

4.2. Лемма Вейля

Мы сейчас докажем лемму Вейля, уже использованную нами в разд. 3.6. Учитывая это, читатель может при желании перейти сразу к разд. 4.3.

Рассмотрим эллиптический оператор определенный на многообразии как в разд. 4.1. Пусть оператор, формально сопряженный с относительно элемента объема

для финитных Лемма Вейля утверждает, что если — (формальная) плотность распределения масс на пространстве и если

для какой-то функции и любой финитной то и допускает модификацию, принадлежащую Модифицированная функция удовлетворяет уравнению в обычном смысле. Так как доказательство сильно упрощается в том случае, когда не зависят от то легче всего и начать с этого специального случая. Наше доказательство представляет собой некоторое упрощение доказательства Ниренберга.

Шаг 1.

Введем пространство формальных тригонометрических сумм:

у которых сопряжено с и

Будем рассматривать как (формальную) функцию на -мерном торе и отметим некоторые простые факты, которые пригодятся нам в дальнейшем:

(2) есть ограниченный оператор из .

(3) есть ограниченный оператор из для любой причем константы зависят от но не зависят от .

Доказательство (1).

Это можно предоставить читателю.

Доказательство (2).

Оператор определяется сначала на а потом замыкается. Оценка для становится очевидной, если написать формальную сумму для где

Доказательство (3).

Оператор определяется сначала в а потом, как и раньше, замыкается; поэтому достаточно оценить для Но для таких

и поскольку то из оценки для некоторого следует оценка для

Это завершает доказательство для 0. Переходя к случаю — заметим, что естественным образом сопряжены, причем оператор, двойственный к умножению представляет собой умножение на ту же функцию так что Далее, является дифференциальным оператором порядка 1 с коэффициентами из поэтому вследствие (2) он задает ограниченное отображение

Оператор есть изометрическое отображение на и поэтому

является ограниченным отображением Отсюда следует (3) для

Шаг 2

В силу утверждений (2) и (3) шага 1 можно рассматривать эллиптический оператор на как ограниченное отображение Цель этого шага — доказать априорную оценку

где константы зависят от но не зависят от Можно выразить через глобальные координаты на Так как часть порядок которой 1, задает ограниченное отображение при доказательстве можно предположить, что эта часть отсутствует, т. е. что Как всегда, достаточно доказать оценку для

Доказательство для случая постоянных коэффициентов.

Пусть у наименьшее собственное значение матрицы составленной из (старших) коэффициентов оператора Тогда

В последнем неравенстве мы используем тот факт, что Этим установлена требуемая оценка с коэффициентами

Доказательство для случая переменных коэффициентов.

Пусть минимум наименьшего собственного значения матрицы, составленной из (старших) коэффициентов оператора Возьмем настолько малым, чтобы в шаре радиуса можно было заменить на с постоянными коэффициентами и наименьшим собственным значением у, сохраняя (старшие) коэффициенты оператора по модулю По только что полученной оценке

где вне шара радиуса Но, с другой стороны,

поэтому

Представив функцию, тождественно равную 1, в виде конечной суммы таких функций получим

Шаг 3

Теперь можно доказать лемму Вейля для с помощью априорной оценки из шага 2.

Утверждение ее состоит в том, что если - (формальная) плотность распределения масс на и если

для некоторой и любой финитной то можно изменить и так, чтобы после этой модификации в обычном смысле.

Доказательство.

Так как это утверждение локально, то достаточно доказать его на некоторой карте Модифицировав локальные координаты на так, чтобы тор «сидел внутри» подберем финитные так, чтобы

и пусть эллиптический оператор на совпадающий с на Рассмотрим как элемент пространства при Выражение можно рассматривать как результат действия дифференциального оператора порядка 1 с коэффициентами из на поэтому из априорной оценки шага 2 получим

т. e. , Повторяя эту оценку, находим

Остальное ясно.

Шаг 4.

Теперь можно доказать лемму Вейля для почти тем же способом. Введем пространство формальных сумм

где сопряжены и

и будем рассматривать как (формальную) функцию на Отображение есть ограниченный оператор из в где определяется, как и в шаге 2. Априорная оценка

доказывается почти так же, как раньше. Можно предполагать, что не содержит членов, порядок которых 1. Тогда

так что между нет интерференции. Остальная часть доказательства аналогична эллиптическому случаю.

Предупреждение: отныне под понимается эллиптический оператору причем означает оператор, сопряженный с относительно элемента объема

1
Оглавление
email@scask.ru