4.2. Лемма Вейля

Мы сейчас докажем лемму Вейля, уже использованную нами в разд. 3.6. Учитывая это, читатель может при желании перейти сразу к разд. 4.3.

Рассмотрим эллиптический оператор определенный на многообразии как в разд. 4.1. Пусть оператор, формально сопряженный с относительно элемента объема

для финитных Лемма Вейля утверждает, что если — (формальная) плотность распределения масс на пространстве и если

для какой-то функции и любой финитной то и допускает модификацию, принадлежащую Модифицированная функция удовлетворяет уравнению в обычном смысле. Так как доказательство сильно упрощается в том случае, когда не зависят от то легче всего и начать с этого специального случая. Наше доказательство представляет собой некоторое упрощение доказательства Ниренберга.

Шаг 1.

Введем пространство формальных тригонометрических сумм:

у которых сопряжено с и

Будем рассматривать как (формальную) функцию на -мерном торе и отметим некоторые простые факты, которые пригодятся нам в дальнейшем:

(2) есть ограниченный оператор из .

(3) есть ограниченный оператор из для любой причем константы зависят от но не зависят от .

Доказательство (1).

Это можно предоставить читателю.

Доказательство (2).

Оператор определяется сначала на а потом замыкается. Оценка для становится очевидной, если написать формальную сумму для где

Доказательство (3).

Оператор определяется сначала в а потом, как и раньше, замыкается; поэтому достаточно оценить для Но для таких

и поскольку то из оценки для некоторого следует оценка для

Это завершает доказательство для 0. Переходя к случаю — заметим, что естественным образом сопряжены, причем оператор, двойственный к умножению представляет собой умножение на ту же функцию так что Далее, является дифференциальным оператором порядка 1 с коэффициентами из поэтому вследствие (2) он задает ограниченное отображение

Оператор есть изометрическое отображение на и поэтому

является ограниченным отображением Отсюда следует (3) для

Шаг 2

В силу утверждений (2) и (3) шага 1 можно рассматривать эллиптический оператор на как ограниченное отображение Цель этого шага — доказать априорную оценку

где константы зависят от но не зависят от Можно выразить через глобальные координаты на Так как часть порядок которой 1, задает ограниченное отображение при доказательстве можно предположить, что эта часть отсутствует, т. е. что Как всегда, достаточно доказать оценку для

Доказательство для случая постоянных коэффициентов.

Пусть у наименьшее собственное значение матрицы составленной из (старших) коэффициентов оператора Тогда

В последнем неравенстве мы используем тот факт, что Этим установлена требуемая оценка с коэффициентами

Доказательство для случая переменных коэффициентов.

Пусть минимум наименьшего собственного значения матрицы, составленной из (старших) коэффициентов оператора Возьмем настолько малым, чтобы в шаре радиуса можно было заменить на с постоянными коэффициентами и наименьшим собственным значением у, сохраняя (старшие) коэффициенты оператора по модулю По только что полученной оценке

где вне шара радиуса Но, с другой стороны,

поэтому

Представив функцию, тождественно равную 1, в виде конечной суммы таких функций получим

Шаг 3

Теперь можно доказать лемму Вейля для с помощью априорной оценки из шага 2.

Утверждение ее состоит в том, что если - (формальная) плотность распределения масс на и если

для некоторой и любой финитной то можно изменить и так, чтобы после этой модификации в обычном смысле.

Доказательство.

Так как это утверждение локально, то достаточно доказать его на некоторой карте Модифицировав локальные координаты на так, чтобы тор «сидел внутри» подберем финитные так, чтобы

и пусть эллиптический оператор на совпадающий с на Рассмотрим как элемент пространства при Выражение можно рассматривать как результат действия дифференциального оператора порядка 1 с коэффициентами из на поэтому из априорной оценки шага 2 получим

т. e. , Повторяя эту оценку, находим

Остальное ясно.

Шаг 4.

Теперь можно доказать лемму Вейля для почти тем же способом. Введем пространство формальных сумм

где сопряжены и

и будем рассматривать как (формальную) функцию на Отображение есть ограниченный оператор из в где определяется, как и в шаге 2. Априорная оценка

доказывается почти так же, как раньше. Можно предполагать, что не содержит членов, порядок которых 1. Тогда

так что между нет интерференции. Остальная часть доказательства аналогична эллиптическому случаю.

Предупреждение: отныне под понимается эллиптический оператору причем означает оператор, сопряженный с относительно элемента объема