4.10. Броуновское движение с косым отражением

Красивым примером диффузии на многообразии с краем является броуновское движение с косым отражением на замкнутом единичном круге в Рассмотрим открытый единичный круг и снабдим каждую точку границы единичным вектором образующим угол с внешней нормалью, причем Предположим, что всюду, кроме конечного числа сингулярных точек, в которых Обозначим это сингулярное множество через и назовем сингулярную точку притягивающей, если и отталкивающей, если Броуновское движение с косым отражением вдоль I есть диффузия на управляемая оператором и подчиненная условию:

Дынкин [2] и Малютов [1] провели очень полное исследование этого движения. Общие сведения о диффузионных процессах на многообразиях с краем можно найти у Икеды [1], Мотоо [2] и Сато и Уэно [1].

Конструкция при (стандартное броуновское движение с отражением).

Применяя результаты разд. 2.8 и задачу 9 разд. 2.9, легко получить, что плоское броуновское движение, начинающееся в можно записать в виде

где бесселевский процесс, выходящий из точек независимое одномерное броуновское движение. Заменим процесс бесселевским процессом с отражением на (0, 1], управляемым оператором и подчиненным условию Это движение может быть получено (как в разд. 3.10) из одномерного броуновского движения решением уравнения для траектории и локального времени

После такой модификации из леммы Ито следует, что для финитной функции

Теперь по лемме Вейля получается, что плотность распределения принадлежит и является решением уравнения внутри Применяя формулу Грина к выражению

получаем

при допущении, что принадлежит Но для где финитны, получаем

поэтому на откуда и следует совпадение процессов.

Конструкция при

Используя бесселевский процесс с отражением его локальное время и не зависящее от них одномерное броуновское движение а, решим уравнение

Это сделать нетрудно, так как ограниченная функция. Положим Лемма Ито показывает, что для финитной функции

Отсюда заключаем, что плотность принадлежит классу и удовлетворяет уравнению внутри в то время как на выполняется соотношение что и требовалось.

Конструкция при наличии только отталкивающих точек.

На рис. 5 изображен график коэффициента сноса в окрестности отталкивающей сингулярной точки этот снос отбрасывает процесс I от точки. Так как стандартное броуновское движение с отражением не достигает заранее заданной

точки границы то общий эффект сноса таков, что никогда не достигает отталкивающей точки.

Конструкция при наличии притягивающих точек.

На рис. 6 изображен график коэффициента сноса в окрестности притягивающей сингулярной точки этот снос подталкивает процесс I к точке.

Рис. 5.

Рис. 6.

Пусть притягивающее сингулярное множество. Нам предстоит доказать, что при процесс можно определить до некоторого момента взрыва так, что

(d) при процесс приближается к сингулярной точке по касательной; это значит, что при бесконечно много раз при этом для всех таких близких к либо

(e) плотность распределения процесса является наименьшим фундаментальным решением уравнения с граничным условием на и с плюсом в точке

Доказательство проводится только в простейшем случае: I — горизонтальное направление .

Шаг 1

Множество содержит ровно две притягивающие точки и при процесс можно без труда определить до момента взрыва

так, чтобы выполнялось свойство

Шаг 2

Согласно лемме Ито и результату задачи 1 разд. 2.9,

если и Здесь с — некоторое одномерное броуновское движение, внутреннее время

Положим и пусть Поскольку на то является (до момента взрыва) одномерным броуновским движением с внутренним временем Так как процесс ограничен, то и свойство (Ь) доказано!). Существование предела также очевидно. Тогда по определению момента имеем Это обязательно влечет существование свойство (с) доказано.

Шаг 3

Рассмотрим углы изображенные на рис. 7, и положим Очевидно, что

внутри на так что процесс и можно представить как одномерное броуновское движение с внутренним временем определенным до момента

Рис. 7.

Так как функция и ограничена, то существует, и, следовательно, при процесс I входит в точку под определенным углом. Но, как отмечалось выше, стандартное броуновское движение с отражением не может достигнуть заранее фиксированной точки границы так что бесконечно много раз при Из рис. 7 немедленно следует, что если, скажем, процесс приближается к точке 1—1, то а стремится к Этим доказано свойство

Шаг 4

Допуская, что и пользуясь свойствами свойство легко доказать, как и в несингулярном случае.

Задача 1. Докажите, что стандартное броуновское движение с отражением не может достигнуть заранее фиксированной точки на границе

Решение. Положим Легко проверить, что внутри а на границе Используя лемму Ито и задачу 1 разд. 2.9, находим, как и раньше, что процесс равен сумме локального времени и некоторого одномерного броуновского движения с надлежащим внутренним временем. Таким образом, он не может стремиться к за конечное время; значит, процесс не достигает точки 1.

Задача 2. Докажите, что для броуновского движения в круге с граничным условием выходящего из точки выполнено соотношение

Решение. Компонента представляет собой одномерное броуновское движение вплоть до момента взрыва, поэтому

откуда

Положим Очевидно, внутри на так что

где искомая вероятность. Осталось выразить из этого равенства

Задача 3. Докажите, что линейные комбинации функций исчерпывают

множество решений уравнения подчиненных условиям

(c) решение и имеет конечные пределы при касательном стремлении точки к сингулярным точкам.

Решение. Используя, как и раньше, лемму Ито и задачу 1 разд. 2.9, докажите, что каждую такую функцию и можно представить в виде и