Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 4.5. Критерий взрывов ХасьминскогоХасьминский [1] доказал два полезных критерия, относящихся к взрывам диффузий на многообразии аналогичных критерию Феллера для (разд. 3.6). Определим для оператора используя глобальные координаты в и введем выражения
Первый критерий Хасьминского устанавливает, что взрыв невозможен если
а второй говорит, что взрыв неизбежен , если
Идея такова: предположим на миг, что оператор обладает сферической симметрией, образуем для соответствующего радиального процесса интеграл, фигурирующий в феллеровском критерии. Постараемся сделать так, чтобы этому интегралу было всего трудней расходиться (сходиться). Если интеграл все-таки расходится (сходится), то выводы из критерия Феллера все еще действительны Доказательство первого критерия Хасьминского. Определим положительное возрастающее решение уравнения
при рядом
и продолжим его в область так, чтобы продолженная функция принадлежала В условиях первого критерия Хасьминского при Так как и положительны для то
и лемма Ито показывает, что при
Но если и траектория выходит из точки 5 (0), такой, что то приведенное выше выражение можно проинтегрировать от момента до какого-то момента заключенного между В результате получим
Так как одномерное броуновское движение а относительно внутреннего времени то
Это противоречит предположению, что так как и Поэтому Доказательство второго критерия Хасьминского. Определим как и раньше, но с заменой соответственно. Используя представление и в виде суммы, можно проверить, что
Поэтому в условиях второго критерия Хасьминского функция и ограничена при Определим При справедливо неравенство так что если то Для траектории, выходящей из точки проинтегрируем последнее выражение до момента получим
Но если сначала а затем то
Так как и сумма коэффициентов при в левой части не превышает 1, то
Но при Отсюда и вытекает, что Задача 1. Используя первый критерий Хасьминского, докажите, что при процесс не взрывается , если
при Решение. так что и
По этой причине интеграл из первого критерия Хасьминского расходится. Задача 2. Пусть определим как наибольшее собственное значение матрицы в круге Докажите, что в каждом из двух случаев: когда и когда Первый критерий Хасьминского не перекрывает этого утверждения. Решение. В силу того что процесс
является супермартингалом . В частности, для траекторий, выходящих из точек
где Поэтому при имеем
и, стало быть, в случае
и при
Аналогично рассматривается второе утверждение. Для траекторий, выходящих из имеем
где При это позволяет доказать, что
где Но это значит, что
Итак, в случае, если интеграл расходится, однако т. е. Задача 3. Используя второй критерий Хасьминского, докажите, что при п. н. происходит взрыв если Это показывает, что критерий задачи 2 не может быть улучшен. Решение. Поскольку то интеграл сходится. Задача 4. Докажите, что при взрыва не происходит: Этот результат также не перекрывается первым критерием Хасьминского. Докажите также в подтверждение результата заключительной части разд. 4.4, что
Решение. Обозначим компоненты процесса через а и Имеем
Из задачи 2 разд. 2.9 следует, что дифференциал некоторого двумерного броуновского движения. Так как (см. разд. 2.4), то взрыв невозможен. В то же время стремится к бесконечности при так как при больших либо либо Но компонента а, представляющая собой сумму одномерного броуновского движения и процесса ограничена сверху выражением Задача 5. Пусть функция имеет тот же знак, что и Рассмотрим решение системы
как реакцию осциллятора с возвращающей силой на возмущение (формальным) белым шумом одномерное броуновское движение). Докажите, что и получите оценку
где гамильтониан связан с невозмущенным осциллятором Решение. Вплоть до момента взрыва можно писать
откуда
для некоторого нового одномерного броуновского движения а с внутренним временем
Предположим, что Тогда либо и обе компоненты остаются ограниченными при , что приводит к противоречию, либо что также абсурдно. Итак, доказано, что Воспользуемся теперь хорошо знакомой мартингальной оценкой:
Здесь Отсюда легко следует, что при
Поскольку то при получается
так что
и
Осталось перейти к пределу при
|
1 |
Оглавление
|