4.5. Критерий взрывов Хасьминского

Хасьминский [1] доказал два полезных критерия, относящихся к взрывам диффузий на многообразии аналогичных критерию Феллера для (разд. 3.6). Определим для оператора используя глобальные координаты в и введем выражения

Первый критерий Хасьминского устанавливает, что взрыв невозможен если

а второй говорит, что взрыв неизбежен , если

Идея такова: предположим на миг, что оператор обладает сферической симметрией, образуем для соответствующего радиального процесса интеграл, фигурирующий в феллеровском критерии. Постараемся сделать так, чтобы этому интегралу было всего трудней расходиться (сходиться). Если интеграл все-таки расходится (сходится), то выводы из критерия Феллера все еще действительны

Доказательство первого критерия Хасьминского.

Определим положительное возрастающее решение уравнения

при рядом

и продолжим его в область так, чтобы продолженная функция принадлежала В условиях первого критерия Хасьминского при Так как и положительны для то

и лемма Ито показывает, что при

Но если и траектория выходит из точки 5 (0), такой, что то приведенное выше выражение можно проинтегрировать от момента до какого-то момента заключенного между В результате получим

Так как одномерное броуновское движение а относительно внутреннего времени то

Это противоречит предположению, что так как и Поэтому

Доказательство второго критерия Хасьминского.

Определим как и раньше, но с заменой соответственно. Используя представление и в виде суммы, можно проверить, что

Поэтому в условиях второго критерия Хасьминского функция и ограничена при Определим При справедливо неравенство так что если то Для траектории, выходящей из точки проинтегрируем последнее выражение до момента получим

Но если сначала а затем то

Так как и сумма коэффициентов при в левой части не превышает 1, то

Но при Отсюда и вытекает, что

Задача 1. Используя первый критерий Хасьминского, докажите, что при процесс не взрывается , если

при

Решение. так что и

По этой причине интеграл из первого критерия Хасьминского расходится.

Задача 2. Пусть определим как наибольшее собственное значение матрицы в круге Докажите, что в каждом из двух случаев: когда и когда Первый критерий Хасьминского не перекрывает этого утверждения.

Решение. В силу того что процесс

является супермартингалом . В частности, для траекторий, выходящих из точек

где Поэтому при имеем

и, стало быть, в случае

и при

Аналогично рассматривается второе утверждение. Для траекторий, выходящих из имеем

где При это позволяет доказать, что

где Но это значит, что

Итак, в случае, если интеграл расходится, однако т. е.

Задача 3. Используя второй критерий Хасьминского, докажите, что при п. н. происходит взрыв если Это показывает, что критерий задачи 2 не может быть улучшен.

Решение. Поскольку то интеграл сходится.

Задача 4. Докажите, что при взрыва не происходит: Этот результат также не перекрывается первым критерием Хасьминского. Докажите также в подтверждение результата заключительной части разд. 4.4, что

Решение. Обозначим компоненты процесса через а и Имеем

Из задачи 2 разд. 2.9 следует, что дифференциал некоторого двумерного броуновского движения. Так как (см. разд. 2.4), то взрыв невозможен. В то же время стремится к бесконечности при так как при больших либо либо Но компонента а, представляющая собой сумму одномерного броуновского движения и процесса ограничена сверху выражением

Задача 5. Пусть функция имеет тот же знак, что и Рассмотрим решение системы

как реакцию осциллятора с возвращающей силой на возмущение (формальным) белым шумом одномерное броуновское движение). Докажите, что и получите оценку

где гамильтониан связан с невозмущенным осциллятором

Решение. Вплоть до момента взрыва можно писать

откуда

для некоторого нового одномерного броуновского движения а с внутренним временем

Предположим, что Тогда либо и обе компоненты остаются ограниченными при , что приводит к противоречию, либо что также абсурдно. Итак, доказано, что Воспользуемся теперь хорошо знакомой мартингальной оценкой:

Здесь Отсюда легко следует, что при

Поскольку то при получается

так что

и

Осталось перейти к пределу при