3.8. Броуновское локальное время

Леви [2] доказал, что броуновское локальное время

существует и представляет собой непрерывную функцию О. Этот факт понадобится нам в разд. 3.10. Сейчас мы его докажем с помощью задачи 4 разд. 2.7 и неопубликованной формулы Танаки, выражающей процесс в виде стохастического интеграла

Шаг 1

Определим процессы где Тогда при любом и для всех

Доказательство.

Согласно результату задачи 4 разд. 2.7,

Теперь достаточно сослаться на лемму Колмогорова.

Шаг 2

Применение леммы Ито дает

Поскольку а при

то

сначала для каждой отдельной, а затем одновременно для всех пар Формула Танаки и существование локального времени следуют из этого соотношения при каждом отдельном Но так как непрерывная функция возрастающая функция 0, то оба факта — существование и справедливость формулы Танаки — имеют место одновременно для всех 0.

Задача 1. Из предыдущих рассуждений (шаг 2) немедленно получается, что при каждом отдельном броуновское локальное время

существует и представляет собой непрерывную функцию Используя свойство (6) разд. 2.3, докажите закон Рея [1]:

Решение. Положим Используя свойство (6) разд. 2.3 и то обстоятельство, что проверим, что при

для некоторых и

для некоторых

Это общий член сходящегося ряда, если только Из первой леммы Бореля — Кантелли следует, что

Для завершения доказательства минимизируем выражение при условии и применим метод разд. 1.6.