2.5. Замена времени

Рассмотрим стохастический интеграл от неупреждающего броуновского функционала для которого . Пусть обратная к непрерывная слева функция;

определена при Проверим, что процесс является броуновским движением до момента Так как функция постоянна на участках постоянства то предыдущее утверждение можно заменить следующим: процесс совпадает с некоторым новым броуновским движением аргумента Функционал называется внутренним временем (часами) для 5. В разд. 2.8 содержится дополнительная информация о случайной замене времени. Другое доказательство можно получить, используя задачу 1 разд. 2.9.

Доказательство.

Примем по определению для и положим

где с — броуновское движение, не зависящее от Пусть при Достаточно доказать, что а — броуновское движение, а для этого остается проверить формулу

Интегрируя по дополнительному броуновскому движению с выражение

получим

(см. скан)

Так как марковский момент, последнюю формулу можно записать в виде

где

представляет собой неупреждающий броуновский функционал. А поскольку то по свойству (8) разд. 2.3; доказательство закончено.

Из формулы и результатов разд. 1.5 и 1.6 можно получить аналоги законов Хинчина и Леви:

и

Здесь считается, что Другие результаты, полученные при помощи замены времени, будут приведены ниже.

Задача 1. Докажите, что если

Отсюда видно, что условие необходимо для существования интеграла

Решение. при и некотором новом броуновском движении а. Используйте теперь тот факт, что