2.4. Вычисление одного стохастического интеграла

Теперь поучительно вычислить какой-нибудь стохастический интеграл от случайной функции. Простейший интересный пример —

В разд. 2.6 объясняется происхождение слагаемого более общий кратный стохастический интеграл

вычисляется при в разд. 2.7.

Определим простой неупреждающий функционал Так как для любого 0 при остается показать, что

Дополнительно заметим, что для

Поэтому достаточно доказать следующую лемму, устанавливающую даже более сильный результат, чем нам необходимо.

Лемма.

Пусть

для Тогда

Доказательство.

Поскольку процесс непрерывный мартингал относительно броуновских полей В то непрерывный субмартингал. Неравенство разд. 1.4 приводит к оценке

где на последнем шаге было использовано свойство автомодельности броуновского движения Но — общий член сходящегося ряда, и, применив первую лемму Бореля — Кантелли, завершим доказательство.

Задача 1. Броуновский дифференциал под знаком стохастического интеграла всегда должен быть «направлен в будущее». «Направленный в прошлое интеграл»

имеет значение а совсем не

Докажите это. В задаче 1 разд. 2.6 содержатся дополнительные сведения об этом интеграле.