3.4. Метод Ламперти
Если задана функция
ограниченного наклона, то уравнение
можно решить гораздо проще, используя очевидную оценку
которая обеспечивает экспоненциально быструю сходимость последовательности Избавляясь от условия
можно определить, как и в разд. 3.3, процесс
вплоть до момента взрыва
Произведем теперь замену переменных (заменим шкалу)
где
По лемме Ито при
где
Идея Ламперти состоит в том, чтобы конструировать решение общего уравнения
в терминах функций
которые выражаются из (а) и (Ь). Пусть заданы коэффициенты
класса
класса
Уравнение (а) можно решить локально, и решение
принадлежит классу
причем
Из уравнения (Ь) следует, что
Чтобы обеспечить дифференцируемость
нужно дополнительно предположить, что
Для существования решения в целом также следует наложить некоторые условия.
Метод Ито применим к более широкому классу коэффициентов, но конструкция Ламперти проще, так как она не опирается ни на мартингальное неравенство, ни на лемму Бореля — Кантелли. К сожалению, метод Ламперти не применим в высших размерностях и не столько по техническим, сколько по топологическим причинам, как будет отмечено в разд. 4.3.