1.6. Модуль Леви

Леви доказал, что точный модуль непрерывности броуновской траектории:

Мы сейчас проверим это, используя изящный метод, принадлежащий самому Леви [1].

Доказательство неравенства

Положим, как и раньше, и возьмем Тогда

Применим результат задачи 1 разд. 1.1

при По первой лемме Бореля — Кантелли

что завершает первую половину доказательства.

Доказательство неравенства

Возьмем Тогда

Но это общий член сходящегося ряда (так как следовательно, применив первую лемму Бореля — Кантелли, получим

Теперь подберем так близко друг к другу, чтобы где столь велико, что только что полученная оценка имеет место при всех Выберем так, чтобы и разложим и следующим образом:

При этом должны выполняться неравенства Поскольку траектория непрерывна, то

Но при

и так как при малых то

В силу того что значение можно сколь угодно уменьшить (если взять достаточно малым), то и доказательство завершено.

Задача 1. Докажите лемму Колмогорова: процесс удовлетворяющий условию

при некоторых имеет непрерывные траектории. Более строго, если при то

и

В качестве образца следует использовать доказательство теоремы Леви о модуле. Заметьте, однако, что настоящая задача не требует таких тонких рассуждений. Проверьте, что лемма Колмогорова справедлива также для процессов при 2. Этот результат будет использован в гл. 3.

Решение для При данном и таком малом что получим

что является общим членом сходящегося ряда. Следуя схеме доказательства теоремы Леви о модуле, без труда получаем остальное.