2.3. Простейшие свойства стохастического интеграла

Теперь, когда интеграл Ито уже определен, мы отметим для последующего употребления некоторые из его простейших свойств. При этом обозначает неупреждающий броуновский функционал, для которого

(2) Для любой константы

(3) - непрерывная функция при

(4) , где броуновский марковский момент, (неупреждающий) индикатор события

(6) - супермартингал и, значит, субмартингал относительно

семейства полей причем

для любого если

Свойства вытекают непосредственно из определения интеграла.

Доказательство свойства (4).

Равенство очевидно, если простой функционал, равный тождественно 0 при достаточно больших В общем случае можно аппроксимировать простыми функционалами подобными описанным в задаче 1 разд. 2.2. Тогда будет стремиться к 0 при в то время как будет стремиться к ибо таким образом, применимы рассуждения шага 5 (разд. 2.2).

Доказательство свойства (5).

Если простой функционал и в в 0 при достаточно больших то, как показывает простая выкладка, В общем случае можно подобрать простые равные 0 вблизи бес конечности и столь хорошо аппроксимирующие неупреждающий функционал индикатор события чтобы

При таком выборе

а если то можно к тому же добиться, чтобы Тогда

Читатель без труда восстановит детали доказательства.

Доказательство свойства (6).

Аппроксимируя простыми как в задаче 1 разд. 2.2, воспользуйтесь затем рассуждениями шага 2 из того же раздела.

Доказательство свойства (7).

Используйте свойство (6) по образцу шага 3 разд. 2.2.

Доказательство свойства (8).

Докажите это (а) для простых равных 0 вблизи бесконечности, (Ь) для произведений вида индикатор события для произвольного используя мажоранту

Задача 1. Выведите из свойства (5) результат Акутовича и Винера [1]: унитарное преобразование о пространства индуцирует сохраняющий меру автоморфизм пространства броуновских траекторий определенный формулой Здесь индикатор множества Решение.

Задача 2. Используя тот факт, что процесс мартингал, докажите формулы

Здесь Выведите из (Ь) распределения:

Решение. Определим марковский момент как минимум из двух чисел:

Ясно, что где и неупреждающий) индикатор события Легко проверить, что и так как то мартингальная оценка

позволяет перейти к пределу при под знаком математического ожидания. Отсюда

Поскольку предельным переходом при заключаем, что откуда, устремляя к 0, находим

Итак, доказана законность предельного перехода по под знаком математического ожидания в формуле Заменив теперь на получим соотношения поскольку в силу Формула (с) доказывается обращением преобразования Лапласа выводится из (с) и элементарного соотношения

в котором теперь уже