Главная > Стохастические интегралы
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

4. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ)

4.1. Многообразия и эллиптические операторы

Многообразие размерности это линейно связное хаусдорфово пространство, покрытое счетным числом (открытых) карт причем координатные отображения фиксированы; топологическое отображение на открытый единичный шар пространства есть бесконечно дифференцируемое топологическое отображение (диффеоморфизм) на Отображение позволяет нам ввести локальные координаты для а условия согласования дают возможность определить класс бесконечно дифференцируемых функций . Отображение представляет собой эллиптический дифференциальный оператор, если на карте его можно записать в виде

где коэффициенты принадлежат а матрица симметрична и положительна т. е. Так как действие на не зависит от координатного отображения, то замена локальных координат порождает замену

коэффициентов, которая выражается через (невырожденную) якобиеву матрицу

Определим как положительный симметричный корень из и проверим следующие простые факты, которые понадобятся нам в дальнейшем.

(2) . Другое выражение для где матрица ортогональна и

(3) Назовем корнем если такой корень, преобразующийся согласно правилу вообще говоря, существует.

(4) определяет элемент объема на .

Доказательство (1).

Можно записать в виде

а эту сумму можно дифференцировать почленно. Общий случай легко отсюда следует.

Доказательство (2).

Первое утверждение очевидно, так как Теперь непосредственными вычислениями получаем, что и из (1) заключаем, что

Доказательство (3).

Отображение есть невырожденное -поле, если для любых из и если в каждой точке

многообразия На карте это отображение можно записать в виде где принадлежит и преобразуется по правилу Так как то из правила следует, что столбцы матрицы определяют независимых невырожденных -полей:

Но это, вообще говоря, невозможно; например, на сфере не существует ни одного невырожденного -поля. Можно дать следующее простое доказательство этому классическому факту. Невырожденное -поле задает касательное направление в каждой точке сферы. Рассмотрим теперь параллель С:

Пусть отклонение у от восточного направления в точке параллели С, и пусть число оборотов у при обходе С в восточном направлении; есть непрерывная функция от Но вблизи северного полюса (при малых в то время как вблизи южного полюса (при больших . Полученное противоречие завершает доказательство.

Доказательство (4).

Задача 1. Пусть отображение в класса ростков бесконечно дифференцируемых функций в Докажите, что для всех тогда и только тогда, когда

где Этот факт используется в задаче разд. 4.3.

Решение. Возьмем обозначим через значение гессиана при Соответствующая квадратичная форма неотрицательно определена; действительно, если то при в Поэтому для оператора написанного выше, выражение неотрицательно. Теперь пусть для любой и такой, что Для данного выражение обращается в или при малых в соответствии со знаком с Следовательно, так что имеет нужный вид: Положим для фиксированного Тогда откуда следует, что матрица неотрицательна.

1
Оглавление
email@scask.ru