4. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ)

4.1. Многообразия и эллиптические операторы

Многообразие размерности это линейно связное хаусдорфово пространство, покрытое счетным числом (открытых) карт причем координатные отображения фиксированы; топологическое отображение на открытый единичный шар пространства есть бесконечно дифференцируемое топологическое отображение (диффеоморфизм) на Отображение позволяет нам ввести локальные координаты для а условия согласования дают возможность определить класс бесконечно дифференцируемых функций . Отображение представляет собой эллиптический дифференциальный оператор, если на карте его можно записать в виде

где коэффициенты принадлежат а матрица симметрична и положительна т. е. Так как действие на не зависит от координатного отображения, то замена локальных координат порождает замену

коэффициентов, которая выражается через (невырожденную) якобиеву матрицу

Определим как положительный симметричный корень из и проверим следующие простые факты, которые понадобятся нам в дальнейшем.

(2) . Другое выражение для где матрица ортогональна и

(3) Назовем корнем если такой корень, преобразующийся согласно правилу вообще говоря, существует.

(4) определяет элемент объема на .

Доказательство (1).

Можно записать в виде

а эту сумму можно дифференцировать почленно. Общий случай легко отсюда следует.

Доказательство (2).

Первое утверждение очевидно, так как Теперь непосредственными вычислениями получаем, что и из (1) заключаем, что

Доказательство (3).

Отображение есть невырожденное -поле, если для любых из и если в каждой точке

многообразия На карте это отображение можно записать в виде где принадлежит и преобразуется по правилу Так как то из правила следует, что столбцы матрицы определяют независимых невырожденных -полей:

Но это, вообще говоря, невозможно; например, на сфере не существует ни одного невырожденного -поля. Можно дать следующее простое доказательство этому классическому факту. Невырожденное -поле задает касательное направление в каждой точке сферы. Рассмотрим теперь параллель С:

Пусть отклонение у от восточного направления в точке параллели С, и пусть число оборотов у при обходе С в восточном направлении; есть непрерывная функция от Но вблизи северного полюса (при малых в то время как вблизи южного полюса (при больших . Полученное противоречие завершает доказательство.

Доказательство (4).

Задача 1. Пусть отображение в класса ростков бесконечно дифференцируемых функций в Докажите, что для всех тогда и только тогда, когда

где Этот факт используется в задаче разд. 4.3.

Решение. Возьмем обозначим через значение гессиана при Соответствующая квадратичная форма неотрицательно определена; действительно, если то при в Поэтому для оператора написанного выше, выражение неотрицательно. Теперь пусть для любой и такой, что Для данного выражение обращается в или при малых в соответствии со знаком с Следовательно, так что имеет нужный вид: Положим для фиксированного Тогда откуда следует, что матрица неотрицательна.