2.8. Стохастические дифференциалы при замене времени

Рассмотрим неупреждающие функционалы такие, что,

Определим Докажем, что

при для некоторого нового броуновского движения а, т. е. на языке дифференциалов

Этот красивый результат действительно удается получить, если и — неупреждающие функционалы от а, для чего на приходится наложить некоторое техническое условие. Последнее обстоятельство разъясняется ниже в шаге 2.

Для упрощения доказательства предположим, что Тогда при

Шаг 1

Начнем с рассмотрения процесса

Это броуновское движение, как доказано в разд. 2.5.

Шаг 2

Докажем далее, что неупреждающий функционал от а. Для этого дополнительно потребуем, чтобы

при Последнее равенство всегда можно обеспечить, выбирая для надлежащую модификацию и не меняя при этом . Те же рассуждения гарантируют, что после аналогичной модификации неупреждающий функционал от а. Возьмем О, обозначим Достаточно проверить следующие факты:

(а) процесс измерим относительно

(b) процесс не зависит от ;

(c) функционал измерим относительно

Свойства (а) и (с) доказываются просто. Для доказательства свойства (b) заметим, что функционал неупреждающий для броуновского движения Положив

получим

Из результатов разд. 2.5 заключаем, что процесс а при условии броуновское движение, откуда и следует выполнение свойства (Ь).

Шаг 3

Так как

то определим стохастический интеграл чтобы отождествить его с интегралом

достаточно иметь дело с простым функционалом в чем читатель сможет сам убедиться. Как в разд. 2.6, это позволяет свести задачу к случаю Рассмотрим простой функционал со скачками

в моменты столь близкий к что

для Теперь при любом целом имеем

Но при эти выкладки можно просмотреть в обратном порядке и получить

Заменив на завершим доказательство.