1.8. Простейшие свойства броуновского движения

Используя формулу читатель без труда может убедиться в справедливости следующих утверждений:

(1) При любом процесс броуновское движение, не зависящее от Это так называемое свойство независимости приращений броуновского движения.

(2) Для любой постоянной процесс броуновское движение. Это так лазываемое свойство автомодельности.

(3) Процесс броуновское движение. Так как то мы немедленно приходим к усиленному закону больших чисел

(4) Процесс броуновское движение. Дворецкий и др. [1] нашли очень короткое доказательство результата Винера, что броуновская траектория нигде не дифференцируема. Допустим, что функция дифференцируема в некоторой точке Тогда при и некотором целом Но это значит, что

при и достаточно большом Но последнее событие является частью события

Из свойства автомодельности легко вывести, что Действительно,

Интересная особенность броуновского движения состоит в том, что оно начинается заново в каждый марковский момент. Этот факт был открыт Дынкиным [3] и Хантом [1],

Определим как наименьшее подполе универсального поля содержащее все события вида и назовем функционал от броуновской траектории марковским моментом (или моментом остановки), если при любом 0. Константа является марковским моментом, так же как и время первого достижения, скажем Однако момент расставания с множеством, например немарковский. Определим как поле таких событий что при любом Если то как подсказывают сами обозначения. Грубо говоря, поле порождается значениями при Понятно, что сама величина измерима относительно и если условиться, что то это же верно и для

Теорема Дынкина - Ханта.

Если марковский момент, то при условии, что процесс является броуновским движением, не зависящим от т. е. не зависящим от

В том частном случае, когда марковский момент постоянен, это утверждение эквивалентно свойству независимости приращений броуновского движения (см. п. (1) в начале данного раздела).

Доказательство.

Определим если рассмотрим событие ограниченную функцию

моментов времени и положим

В силу того что величины сходятся при на множестве и так как

то применение свойства (1) дает

Завершить доказательство мы предоставляем читателю.

Часто бывает полезно следующее обобщение. Рассмотрим поля , такие, что не зависит от поля связанного с процессом Величину назовем марковским моментом, если при любом определяется как поле событий таких, что при Справедливо следующее утверждение: при условии, что процесс представляет собой броуновское движение, не зависящее от более того, оно не зависит от всего поля Доказательство совпадает с изложенным выше.

Задача 1. Используя теорему Дынкина — Ханта, докажите закон 0 или 1 Блюменталя если то или 1.

Решение. Если то Стало быть, событие В измеримо как относительно так и относительно и потому не зависит от самого себя.