4.4. Взрывы и гармонические функции

Рассмотрим вероятность взрыва как функцию начальной точки и докажем, что принадлежит и удовлетворяет уравнению

Доказательство.

Функция и решение уравнения (здесь финитна). Поэтому для финитной

и

По лемме Вейля существует функция такая, что вне множества меры нуль на Чтобы завершить отождествление и достаточно заметить, что выражение

относится к стало быть, не чувствительно к нуль-множествам. При оно стремится к

Простое, но полезное следствие этого результата состоит в том, что для компактного траектория процесса при бесконечно много раз посещает любую карту Для доказательства достаточно проверить, что если малая карта с гладкой границей, а момент достижения то вне

Шаг 1

Функция принадлежит классу вне

Доказательство.

момент взрыва для процесса, управляемого оператором на открытом многообразии

Шаг 2

Функция стремится к 1 на Доказательство.

Пусть при некотором Ясно, что Так как фундаментальное решение уравнения принадлежит то Так как к точке можно приблизиться из дополнения к то При так что осталось проверить равенство Выразим траекторию вблизи 0 через локальные координаты

как при то поэтому при Матрица

невырождена, а процесс изотропен, так что достаточно доказать, что процесс [ошибка порядка при ] почти наверное бесконечно часто входит в конус

Постоянная может быть большой. Но это событие содержит событие, состоящее в том, что бесконечно часто при 110, в чем читатель без труда убедится самостоятельно. Поэтому вероятность

положительна, и, так как принадлежит полю для завершения доказательства осталось воспользоваться законом 0 или 1 Блюменталя.

Шаг 3

Так как функция стремится к 1 на она имеет минимум в некоторой точке 0 внутри Многообразие компактно, и это значит, как сейчас будет доказано, что постоянная 1). Выберем малую карту содержащую 0, и так изменим локальные координаты чтобы замкнутый шар лежал внутри Если то для процесса, выходящего из Положим . В силу равенства

имеем и так как то факт постоянства на поверхности будет вытекать из следующей леммы:

Вероятность положительна для любого открытого подмножества на сфере

Эта конструкция распространяется на все дополнение и показывает, что действительно

Доказательство леммы.

Рассмотрим процесс управляемый оператором (где у — какая-то фиксированная точка из до момента достижения При как читатель может без труда проверить, стремится к 0, так что отделена от 0 при Применение формулы Камерона — Мартина показывает, что также положительна. Читатель мог заметить, что шаг 3 содержит попросту так называемый принцип максимума для задачи если в открытой области достигает своего максимума (или минимума) внутри этой области, то постоянна.

Бернштейн доказал удивительный результат: если то без каких-либо предположений относительно гладкости каждое решение уравнения постоянно, если только каждой точке и функция ограничена с двух сторон, например 1. Это делает еще более поразительным пример Хопфа [1], показывающий, что размерность 2 нельзя увеличить:

В теореме Бернштейна содержится неожиданный вероятностный факт: для плоских диффузии с вероятность равна либо 0,

либо 1 независимо от начальной точки. Приведем доказательство. Теорема Бернштейна показывает, что постоянна, поскольку Но тогда

поэтому либо либо

Тот факт, что вовсе не означает, что траектория посещает каждый круг при Задача 4 разд. 4.5 показывает, что даже в бернштейновском случае возможно, что а само броуновское движение дает контрпример для Из теоремы Бернштейна следует, что или для плоской диффузии при Доказательство то же самое, и можно заключить, что это предложение всегда имеет место для некомпактных

В общих чертах доказательство можно описать следующим образом. Пусть определим Тогда как доказано ранее, т. е. либо либо положительна в открытой области Простое видоизменение леммы из шага 3 показывает, что достигает положительна для любой начальной точки откуда следует, что на всем Предположим теперь, что для какой-то начальной точки Это значит, что процесс должен с положительной вероятностью бесконечное число раз посетить фиксированный компакт Но это невозможно, так как всякий раз, попадая в процесс имеет положительную вероятность (не меньшую, чем минимум на К) не возвратиться при назад бесконечное число раз. Читателю предлагается дополнить доказательство необходимыми деталями.