3.10. Некоторые сингулярные уравнения

Настоящий раздел призван проиллюстрировать те патологии, которые могут наблюдаться при решении уравнения с сингулярными коэффициентами.

3.10а. Пример Лордана

Лордан доказал, что если при и при то уравнение

имеет единственное неупреждающее решение, когда броуновская траектория, и вообще не имеет решений при

Доказ ательство отсутствия решений при

Производная принимает значения или —1/2 при или соответственно, так что решение 5 меняется от 0 до 1, если пробегает интервал [0, 2], причем при Но при 2, очевидно, что невозможно.

Доказательство существования решения при

Рассмотрим убывающие функции класса такие, что при при Пусть неупреждающие решения уравнений Заметим, что так как при

Пусть далее при Тогда и поскольку

то из формулы Камерона — Мартина (разд. 3.7) следует, что вероятность

стремится к общему для значению

Здесь в и процессы непрерывны, поэтому Так как

то получается, что

Значит, . Доказательство завершается, о

если заметить, что любое решение уравнения заключено между и

3.10b. Пример Гирсанова

Классическая задача имеет единственное решение если а 1. Но при существуют и ненулевые решения, например или же

(годится любое . Гирсанов [2] открыл аналогичное явление в броуновском случае: уравнение

при имеет единственное неупреждающее решение а при существует бесконечное число таких решений. Сейчас мы докажем результат ирсанова.

Доказательство единственности при

Допустим, что неупреждающее решение, определенное на некотором (малом) интервале времени. Рассмотрим в разд. 2.5 говорится, что процесс представляет собой броуновское движение вблизи Так как то величина при малых значениях конечна. Теперь мы придем к противоречию с этим фактом. Введем с этой целью локальное время как в задаче 2 разд. 3.8. Функционал имеет

то же распределение, что и как это можно усмотреть из шага 1 предыдущего раздела; для нас важно, что Кроме того, функционал непрерывен в точке откуда и следует, что интеграл расходится.

Доказательство неединственности при

Определим функционал Этот интеграл существует, так как и, применяя замену времени разд. 2.8, можно обнаружить, что

для некоторого нового броуновского движения

Итак, помимо уравнение имеет второе неупреждающее решение Исходя из можно построить много других неупреждающих решений, либо действуя, как в классическом случае, либо применяя (сингулярную) замену времени где локальное время

3.10с. Бесселевский процесс

Рассмотрим бесселевский процесс связанный с трехмерным броуновским движением. Вспомним, что

для некоторого нового одномерного броуновского движения 6 2). Отсюда

Маккин доказал, что уравнение

(a) имеет единственное неотрицательное (неположительное) решение для любого непрерывного пути а, такого, что ;

(b) не имеет других решений в случае, когда броуновская траектория;

(c) имеет бесконечное решение для некоторых (не броуновских) путей.

Доказательство

Так как — то достаточно иметь дело с неотрицательными решениями. Рассмотрим разность двух неотрицательных решений

Ясно, что Так как функция суммируема, то дифференцирование допустимо, откуда заключаем, что Стало быть, Единственность доказана. Перейдем к доказательству существования. Бесселевский

процесс удовлетворяет уравнению кроме того, можно выбрать последовательность сдвинутых (по времени) броуновских траекторий таких, что при Уравнение имеет для каждого положительное решение Разность не может изменить знак, так как Поэтому заметив, что при получим окончательно

Доказательство (b).

Воспользуйтесь тем, что для бесселевского процесса

Доказательство

Выберем такую непрерывную функцию что и уравнение имеет бесконечное число корней. Положим . Тогда функция удовлетворяет уравнению

Но в каждом корне уравнения функция а отрицательна, и в этот момент можно переключить решение на отрицательное. В частности, существует бесконечно много различных решений.