2.7. Решение простейшего стохастического дифференциального уравнения

Рассмотрим неупреждающий броуновский функционал такой, что

Экспоненциальный супермартингал

является решением стохастического дифференциального уравнения при начальном условии (см. пример 2 разд. 2.6). Если - второе решение того же уравнения, то лемма Ито позволяет заключить, что

Итак, — единственное решение, для которого Вывод таков: в теории Ито супермартингал дублирует обычную экспоненту

Теперь мы получим для второе выражение в виде ряда

Доказательство.

Введем внутреннее время и предположим, что так что непрерывная слева функция, неограниченно возрастающая при Так как марковский момент, то стохастический интеграл, и на основании свойства (5) разд. 2.3 находим

Отсюда по индукции Далее, при фиксированном процесс является стохастическим интегралом относительно броуновского движения ибо функционал неупреждающий для Так как марковский момент для при формула (5) разд. 2.3 показывает, что Стало быть, -мартингал относительно семейства полей Применяя к субмартингалу мартингальное неравенство разд. 1.4, получаем оценку

гарантирующую в силу леммы Бореля — Кантелли экспоненциально быструю локально равномерную сходимость ряда к решению интегрального

уравнения Этим доказательство завершается, если только заметить, что дополнительное условие можно отбросить.

Определим теперь полиномы Эрмита:

и заметим, что из ряда Тейлора для следует соотношение

Используя эту формулу, разложим ряд решение — уравнения и сравним его с другим рядом также дающим решение. Имеем

Тем самым доказан частный случай формулы Ито [5] и Винера [3]:

При отсюда следует равенство

Итак, полиномы Эрмита служат в теории Ито аналогами обычных степеней В приведенных ниже задачах 1—3 обсуждается общая формула Ито - Винера; в этих задачах неупреждающий функционал, для которого

Задача 1. Докажите, что

Решение. Воспользуйтесь производящей функцией

Задача 2. Ито [5] определяет кратный стохастический интеграл от над соотношением

Здесь симметрическая группа всех перестановок из символов. Докажите с помощью примера 3 разд. 2.6 формулу Ито

Решение для случая Пользуясь формулой интегрирования по частям примера 3 разд. 2.6, находим

(см. скан)

Переставляя индексы 1, 2, 3 и суммируя, получим

+ 12 аналогичных интегралов.

Расписывая аналогично

сводим предыдущую длинную сумму к выражению

Задача 3 (формула Ито - Винера). Обозначим для краткости и предположим, что при Докажите, что

Решение. В силу результата задачи 2

Воспользуйтесь теперь задачей 1, повторите рассуждения для .

Задача 4. Докажите неравенство

Решение. Так как то

Но для «хороших» функционалов математическое ожидание левой части равно 0, так что

Доказательство можно завершить надлежащей аппроксимацией.