2.9. Стохастические интегралы и дифференциалы для многомерного броуновского движения

Определение интеграла Ито легко распространяется на -мерное броуновское движение введенное в разд. 1.7. Неупреждающий функционал

определяется, как и раньше, и автоматически является неупреждающим функционалом для каждой компоненты, скажем так что, если интеграл можно ввести в точности, как в разд. 2.2. Более сложные интегралы можно сконструировать из отдельных деталей. Несколько примеров для случая пояснят эту идею:

Лемма Ито также легко обобщается. Вычисление дифференциалов проводится, как и раньше, в терминах произведений вида и

а они принимают значения либо 0, либо в соответствии со следующей таблицей умножения:

(см. скан)

Доказательство леммы Ито.

Рассуждения те же, что и в разд. 2.6. Их нужно лишь дополнить обоснованием правила перекрестного умножения броуновских дифференциалов , что сводится к доказательству такого факта: если ограниченный неупреждающий функционал для двумерного броуновского движения то максимум модуля мартингала

допускает при оценку Но это, как и раньше, выводится из мартингального неравенства разд. 1.4.

Различные дополнительные свойства многомерных броуновских интегралов и дифференциалов обсуждаются ниже в серии из девяти задач с решениями. В этих задачах неупреждающий функционал, для которого

Задача 1. Докажите, что если то

есть одномерное броуновское движение при Функция обратная к т. е. определена при

Решение для случая Применяя лемму убеждаемся, что для любого

Читатель может самостоятельно проверить, что мартингал относительно семейства полей так что при

Поскольку процесс измерим относительно то доказательство закончено. Доказательство результатов разд. 2.5 можно было бы провести таким же образом.

Задача 2. Если то интеграл представляет собой -мерное броуновское движение тогда и только тогда, когда таблица

умножения для дифференциалов броуновская: если в противном случае.

Решение. Процесс мартингал относительно семейства полей для любого только тогда, когда таблица умножения для компонент броуновская. Но если это так, то при

как и в решении задачи 1.

Задача 3. Если , то а есть -мерное броуновское движение.

Решение. Воспользуйтесь результатом задачи 2,

Задача 4. Если то процесс удовлетворяет следующим усиленным законам:

где и подразумевается, что (случай d = 1 рассмотрен в разд. 2.5).

Решение. Для любого направления процесс одномерное броуновское движение

относительно внутреннего времени как это следует из задачи 1; прочее очевидно.

Задача 5. Если то процесс супермартингал относительно семейства полей причем

Решение. Докажите эти результаты сначала для простых как и в (6) разд. 2.3. Предельный переход несложен.

Задача 6. Вне множества стохасти ческий дифференциал бесселевого процесса дается формулой для некоторого нового одномерного броуновского движения

Решение. Воспользуйтесь леммой Ито и задачей 2.

Задача 7. Используя тот факт, что для двумерного броуновского движения вне множества докажите, что

Аналогичный факт в случае был установлен в задаче 1 разд. 1.7 другим методом. Рассмотрите случай используя соображения, основанные, как и выше, на лемме Ито.

Решение при Поскольку то при

Согласно разд. 2.5, если

то с одномерное броуновское движение до момента Однако если то с стремится к при что невозможно по следующим причинам: если то если же то по некоторой подпоследовательности

Решение при 3. Замените в предыдущем рассуждении на

Задача 8. Проверьте, что сферические координаты: широта, долгота, трехмерного броуновского движения изменяются согласно системе стохастических дифференциальных уравнений

где новое трехмерное броуновское движение

Решение. Воспользуйтесь леммой Ито и результатами задачи 2.

Задача 9. Докажите, используя стохастические дифференциалы, что при двумерное броуновское движение в полярных координатах можно представить формулой

где бесселевский процесс и а — независимое одномерное броуновское движение.

Решение. Возьмем бесселевский процесс независимое одномерное броуновское движение а, и положим В силу независимости а и неупреждающий функционал для а.

Далее, и из результатов разд. 2.8 следует, что дифференциал процесса можно записать в виде где

есть новое броуновское движение. Несложные рассуждения показывают, что процесс с при условии, что траектория фиксирована, есть все еще броуновское движение, т. е. процесс с не зависит от Отсюда сразу следует, что таблица умножения прямоугольных координат дифференциала броуновская, а этого достаточно (по задаче 2) для отождествления введенного выше процесса с некоторым двумерным броуновским движением.