4.7. Броуновское движение на группе Ли

Связная группа является многообразием в смысле определения разд. 4.1 и, кроме того, группой с гладким умножением Гладкость умножения означает, что для элементов содержащихся в малых картах соответственно, произведение заключено в малой карте, и его локальные координаты принадлежат Определим как класс ростков бесконечно дифференцируемых функций в точке -единице группы Дифференцирование на является

отображением удовлетворяющим условию Это отображение можно записать в локальных координатах на карте содержащей 1, как для некоторого а Полученное соответствие представляет собой аддитивный изоморфизм между и касательным пространством А группы в точке 1, состоящим из всех дифференцирований на Определим как класс всех дифференциальных операторов на с коэффициентами из коммутирующих с левым сдвигом Дифференцирование можно рассматривать как элемент если положить Для отсюда следует, что коммутатор вычисленный в и затем примененный к остается в А. Пространство снабженное вышеописанной операцией коммутирования: есть алгебра Ли группы Пространство с обычным умножением есть обертывающая алгебра алгебры Ли название происходит оттого, что с точностью до изоморфизма есть наименьшая ассоциативная алгебра, содержащая А как подалгебру Ли относительно операции коммутирования. Зададим отображение так называемое экспоненциальное отображение, определяемое в окрестности по правилу Отображение переводит одномерные подпространства алгебры Ли А на одномерные подгруппы группы Ли Отображение есть локальный диффеоморфизм.

Проиллюстрируем это на простом примере группы собственных вращений пространства Группу можно отождествить с группой ортогональных матриц порядка с определителем, равным а алгебру А — с пространством кососимметрических матриц порядка, снабженным операцией коммутирования; при этом есть обычная экспоненциальная сумма: Алгебра

порождается тремя инфинитезимальными вращениями:

так что А изоморфна пространству с векторным умножением. Элемент

переводится отображением в поворот относительно оси на угол Направление поворота определяется правилом правого винта.

Помимо перечисленных выше общих фактов нам понадобится еще только теорема (см. шаг 1 разд. 4.8). Общую информацию и доказательства см. в книге Хелгасона

Левоинвариантным броуновским движением на группе называется непрерывный процесс выходящий из точки и начинающийся заново в свои марковские моменты в том смысле, что при условии будущее не зависит от прошлого (т. е. не зависит от поля Кроме того, процесс имеет то же распределение, что и исходное движение Это аналог свойства независимости приращений одномерного броуновского движения.

Иссида [и доказал, что броуновское движение на управляется (возможно, вырожденным) эллиптическим дифференциальным оператором который записывается в терминах базиса

алгебры А в виде

с постоянными Если матрица невырождена, последнее означает, что плотность распределения по отношению к элементу объема на группе является фундаментальным решением уравнения с полюсом в точке 1. Приведем формальное доказательство перечисленных фактов. Определим оператор соотношением

Используя инвариантность относительно левых сдвигов, заметим, что Применяя теперь задачу 1 разд. 4.1 и тот факт, что представим оператор в нужной форме.

Ито [4] доказал, что каждый оператор такого вида действительно связан с некоторым инвариантным слева броуновским движением на Траектории этого процесса были сконструированы им так же, как в разд. 4.3. Иосида доказал тот же факт, построив фундаментальное решение задачи

Третий метод состоит в том, что дифференциалы -мерного (асимметричного) броуновского движения определенного на алгебре А (отождествленной с вкладываются в с помощью экспоненциального отображения, а затем результаты вложения соединяются вместе в так называемом мультипликативном интеграле

Эта программа осуществляется в разд. 4.8.