4.8. Вложение

Пусть заданы постоянные матрица и вектор и стандартное -мерное броуновское движение Рассмотрим процесс как (косое) броуновское движение на алгебре Ли А группы т. е. отождествим точки не

Проверим следующее предложение: если

то так называемый мультипликативный интеграл

существует и определяет левоинвариантное броуновское движение на группе управляемое оператором

Шаг 1

Теорема устанавливает, что А допускает при некотором точное представление как подалгебра Ли алгебры с обычной операцией коммутирования. Классическая экспоненциальная сумма отображает эту точную копию А на некоторую подгруппу Ли общей линейной группы Построенная подгруппа локально изоморфна хотя глобально это, возможно, и не так. Но конструкция вложения локальна, так что доказательство можно проводить в предположении, что точно вкладывается в как подгруппа Ли.

Введем в норму не смешивая ее с нормой линейного оператора а,

действующего в Мы часто будем пользоваться следующими неравенствами:

Предупреждение: для того чтобы последующие формулы выглядели более четко, транспонирование элемента как оператора в будем обозначать а.

Шаг 2

Мультипликативное представление для предполагает, что в обертывающей алгебре выполнено соотношение

Сейчас будет доказано, задача имеет единственное неупреждающее решение такое, что

Доказательство единственности.

Рассмотрим разность 1) двух неупреждающих решений, и пусть броуновский момент остановки определяется как наименьшая из двух величин Применение леммы Ито к процессу приводит к представлению

где Используя оценки, отмеченные в шаге 1, нетрудно вывести, что и что справедлива оценка

Отсюда заключаем, что Доказательство завершается предельным переходом при

Доказательство существования.

По аналогии с разд. 2.7 определим как сумму ряда где при Точно так же, как только что при оценке выражения докажем, что

Используя, как и в разд. 2.7, мартингальное неравенство и первую лемму Бореля — Кантелли, находим, что сумма для сходится экспоненциально быстро к решению уравнения

Шаг 3

Положим по определению если

Докажем, что при любом

Доказательство.

Норма оценивается сверху выражением Так как то нетрудно доказать, что среднее ограничено при для каждого и что также ограничено, причем

Но при справа стоит общий член сходящегося ряда и доказательство завершается ссылкой на первую лемму Бореля — Кантелли.

Шаг 4

Докажем, что при любом

Доказательство.

Определим где Используя модули Леви (разд. 1.6), их обобщение для стохастических интегралов (разд. 2.5) и оценку предыдущего шага, можно показать, что при с точностью до величин, не превосходящих выполняется неравенство

где Так как последние суммы образуют мартингал, то последовательность субмартингал. Пользуясь оценкой шага 3: и независимостью величин и находим, что

Но при это общий член сходящегося ряда, так что все прочее следует из первой леммы Бореля — Кантелли.

Шаг 5

Докажем, что при любом

Доказательство.

Имеем где — Согласно шагу 4, последнее выражение при не превосходит по величине Введем в рассмотрение броуновский момент определенный как первый момент такой, что или (Если ни одно из этих двух событий не произошло при то полагаем ) В силу результатов шагов при Пусть Величину можно оценить, как и в шаге 2:

В результате для получается при 1 верхняя оценка: Теперь обычный мартингальный прием, примененный к субмартингалу

показывает, что

Аналогичную оценку

доказать еще проще. Отсюда и следует нужный результат.

Шаг 6

Предел существует и для невырожденной матрицы он представляет собой левоинвариантное движение на группе управляемое оператором

Доказательство.

Из результата шага 5 немедленно следует, что при мультипликативный интеграл существует; читатель без труда проверит, что конструкцию можно распространить и на случай Ясно также, что — левоинвариантное броуновское движение. Осталось доказать последнее утверждение. Но, как легко видеть, для финитной функции и при с точностью до величины, не превосходящей

член этого ряда вычисляется при Нетрудно показать, что при последнее выражение стремится к

Но это значит, что на каждой карте с локальными координатами процесс является решением уравнения В этой окрестности служат локальными коэффициентами оператора Тем самым мы можем отождествить с левоинвариантным броуновским движением на группе управляемым оператором Доказательство закончено.

Простой, но любопытный пример вложения получается, если рассмотреть движение трехмерного шара, катящегося без скольжения по плоскости в то время как его центр совершает стандартное двумерное броуновское движение на плоскости Здесь инфинитезимальные вращения

порождают А, и экспоненциальное отображение переводит в поворот против часовой стрелки на угол вокруг оси как уже отмечалось в разд. 4.8.

Рис. 4.

Так как броуновская частица движется из (точка 1 рис. 4) в (точка 2

рис. 4), то шар за то же время испытывает приблизительно поворот на угол (против часовой стрелки) вокруг оси как показано на рис. 4. Поэтому к моменту шар претерпевает вращение, в точности равное соответствующему мультипликативному интегралу; именно, (левое) броуновское движение на управляется оператором

Задача 1. Докажите, что движение северного полюса катящегося шара есть сферическая диффузия, управляемая оператором

Решение. Так как то коммутирует с подгруппой вращений вокруг северного полюса Поэтому есть диффузия на сфере Для завершения доказательства достаточно вычислить результат действия оператора на , рассматривая функцию как элемент пространства зависящий только от классов смежности