4.3. Диффузионные процессы на многообразии

Ито доказал [3, 8], что если эллиптический оператор на многообразии такой, что то локальные решения уравнения

на картах из можно склеить в диффузию управляемую оператором Последнее означает, что

(a) траектория определена до некоторого момента взрыва ;

(b) если компактно, то если же некомпактно и то ;

(c) процесс начинается заново в свои марковские моменты, т. е. если марковский момент для то при условиях будущее не зависит от прошлого и имеет то же распределение, что и процесс, выходящий из

(d) если такой марковский момент для что принадлежит карте с координатным отображением то

до момента первого выхода процесса из Здесь надлежащее броуновское движение, зависящее от координатного отображения ;

(e) плотность распределения величины по отношению к элементу объема является наименьшим фундаментальным решением уравнения с полюсом в точке Другими словами, эта плотность принадлежит классу

для любой карты содержащей

Шаг 1

Оператор на карте представляется в виде и можно, рассматривая как часть продолжить коэффициенты с замкнутого шара на все

пространство так, чтобы они стали финитными, но по-прежнему принадлежали классу Для данного -мерного броуновского движения 6, так же как и в разд. 3.2, можно решить уравнение

Нетрудно убедиться, что при (неупреждающая) локальная диффузия

начинается заново в броуновские моменты остановки и не зависит от способа продолжения коэффициентов.

Шаг 2

Определим процесс в объединении двух частично перекрывающихся шаров следующим образом:

(1) начав, скажем, из точки возьмем -мерное броуновское движение и построим на его основе какую-то копию локальной диффузии в выходящую из Положим, по определению до момента первого выхода . Если либо либо но остановимся и положим ;

(2) но если возьмем броуновское движение построим на его основе копию локальной диффузии в начинающейся в точке Положим, по определению, суммы и момента выхода Если или же

но остановимся и положим

(3) если возьмем броуновское движение построим на его основе копию локальной диффузии в выходящую из По определению положим момента плюс момент первого выхода Если либо либо но остановимся и положим , и т. д.

Процесс определен теперь до момента взрыва ел. и произведение процесса на индикатор события представляет собой неупреждающий функционал от броуновского движения Шаг 3

Следующий шаг состоит в доказательстве того, что процесс , полученный склеиванием в предыдущем шаге, является диффузией, совместимой с локальными диффузиями А именно: начинается заново в марковские моменты и если принадлежит карте с координатным отображением то

до момента первого выхода процесса из Здесь подходящее броуновское движение, зависящее от

Доказательство.

На карте содержащейся в пересечении процесс I можно представить либо как либо как Главное в этом шаге то, что в указанной неопределенности нет беды. Лемма Ито устанавливает, что при изменении локальных

координат на карте дифференциал преобразуется к виду

Свойство (2) разд. 4.1 показывает, что где ортогональная матрица принадлежит

Поэтому для нового броуновского движения . В силу этого движения одинаково распределены на пересечении Завершить доказательство предоставляется читателю.

Шаг 4

Прежде чем сделать пятый шаг, нужно доказать априорную оценку. Она устанавливает, что при

где у — наибольшее собственное значение на множестве .

Доказательство.

Пусть нижняя грань при Рассмотрим направление Задача 1 разд. 2.9 говорит нам, что до момента выхода процесс можно представить как одномерное броуновское движение а с внутренним временем плюс величина, не превосходящая . В силу этого до момента выхода

Если 0 пробегает все координатных направлений в пространстве, то при

Шаг 5

Если то существует и принадлежит .

Доказательство.

Используя априорную оценку шага 4, нетрудно убедиться, что существует, если Действительно, если это не так, то можно найти две вложенные поверхности, лежащие в одной карте внутри и удаленные друг от друга на расстояние такие, что Здесь событие, состоящее в том, что 5 переходит с внутренней на внешнюю поверхность и обратно бесконечное число раз (до момента ). Но если моменты последовательных возвращений на внутреннюю поверхность через внешнюю, то из априорной оценки следует, что при надлежащей постоянной у

Применение первой леммы Бореля — Кантелли приводит теперь к абсурдному результату: Достаток ряда на множестве

Шаг 6

Определим шары так, что пересекается с Пусть означает процесс, построенный в шагах 2—5. Пользуясь тем же методом, применительно к и локальной диффузии на (вместо ), получим на процесс у. Он наделен теми же свойствами, которые были установлены для в и 5. Именно, определен до момента он начинается заново в свои марковские моменты и согласован с надлежащими локальными диффузиями на картах, лежащих в Наконец, если то Продолжая процедуру, легко определить на такие движения что до момента Но тогда процесс определен до момента взрыва и удовлетворяет условиям что читатель без труда проверит самостоятельно. Единственное затруднение появляется в связи с условием если компактно. Тогда многообразие можно покрыть конечным числом шаров так что в конце концов граница будет пуста и автоматически

Шаг 7

Оператор управляет процессом т. е. выполнено

Доказательство.

Как и в шаге 1 разд. 3.5, из леммы Ито и Вейля легко следует, что (формальная) плотность распределения принадлежит классу и является фундаментальным решением уравнения с полюсом в точке Осталось

только показать, что это наименьшее такое решение. Доказательство проводится по-разному, в зависимости от того, компактно или нет. Если компактно, то мы позаимствуем из литературы тот факт, что для любой функции уравнение имеет единственное решение с начальными данными

Это решение, как и в шаге 2 разд. 3.5, легко отождествить с и из хода рассуждений шага 3 разд. 3.5 следует, что единственное фундаментальное решение уравнения Для некомпактных доказательство лишь немногим сложней. Рассмотрим область с гладкой границей и компактным замыканием В и воспользуемся тем известным из литературы фактом, что для финитной неотрицательной функции уравнение имеет единственное неотрицательное решение и при начальных условиях и граничном условии на Положим ; тогда и можно отождествить внутри как это было сделано в шаге 2 разд. 3.5. Теперь с помощью формулы Грина можно повторить рассуждения из шага 3 разд. 3.5 и прийти к выводу, что меньше любого другого фундаментального решения задачи т. е. выполнено.

Шаг 3 следует дополнить замечанием, что локальную диффузию 5 не всегда удается определить таким образом (используя единственное броуновское движение чтобы при изменении координат процесс преобразовывался в Вычисления шага 3 показывают, что это означало бы равенство Но тогда это невозможно, например, для даже если допустить неположительные корни из Применение метода Ламперти для решения уравнения не избавит нас от подобных

геометрических возражений в чем читатель может без труда убедиться.

Икеда [1] приспособил метод Ито к случаю многообразий с границей. К сожалению, разъяснение этого красивого исследования заняло бы слишком много времени. Тем не менее в разд. 4.10 обсуждается броуновское движение в круге с наклонной производной. Значительную часть современной информации см. у Мотоо [2] и Сато и Уэно [3]. Метод Ито можно также применять для решения уравнения для дифференциальных форм.

Следующие ниже задачи 1—5 относятся к случаю Оператор записывается в глобальных координатах на означает решение уравнения

Задача 1. Положим по определению наибольшее собственное значение Докажите, что при

и

Решение. Поступайте, как в задаче 4 разд. 2.9.

Задача 2. Докажите, что

Решение. Поступайте, как в задаче 1 разд. 3.3.

Задача 3. Докажите, что при

где наименьшее собственное значение при

Решение. Вернитесь к доказательству шага 4. До момента достижения

где а — одномерное броуновское движение, нижняя граница при Завершить доказательство можно примерно так же, как и в шаге 4.

Задача 4. Обозначим через наибольшее (наименьшее) собственное значение при . Докажите, что в случае для выполнены неравенства

Решение. Как и в задаче 3, до момента

где одномерное броуновское движение, быть, По лемме так что

откуда и следует нужный результат.

Задача 5. Определим как решение уравнения Пусть — решение уравнения с той же начальной точкой Пусть момент взрыва для для Введем

Необходимо доказать, что и что формула Камерона — Мартина

справедлива для событий , зависящих только от

Решение. Поступайте, как в разд. 3.7.

Задача 6. Пусть задана диффузия 5 (без взрыва) на многообразии определенная свойствами в начале этого раздела. Для финитной функции положим и предположим, что существует в каждой точке для всех таких и. Выведите из задачи 1 разд. 4.1, что эллиптический дифференциальный оператор.

Решение. Докажите сначала, используя шаг 4, что отображение действует на ростках функций Далее, согласно задаче 1 разд. 4.1, достаточно проверить, что в точках (локального) минимума функций

Задача 7. Используя результаты шага 7 и лемму Вейля, докажите, как и в задаче 1 разд. 3.5, что для финитной функции из интеграл представляет собой наименьшее неотрицательное решение уравнения принадлежащее и сводящееся в момент

Задача 8. Докажите, как и в задаче 2 разд. 3.5, что как функция от 0, своего полюса и своего аргумента, принадлежит классу и удовлетворяет обратному уравнению как функция и полюса.