4.9. Броуновское движение на симметрических матрицах

Рассмотрим как пространство симметрических матриц порядка с координатами и определим как подмногообразие симметрических матриц с простыми собственными значениями. На действует группа сопряжений: Пространство можно отождествить с подмногообразием диагональных матриц

с элементами вдоль диагонали. Так как стационарная группа точки есть (конечная) подгруппа диагональных вращений вдоль диагонали), то можно отождествить с многообразием рассматриваемым по модулю используя диффеоморфизм ->оуо. Группа действует как группа движений на Она состоит из сопряжений отражений и переносов Единственный (с точностью до постоянного множителя) эллиптический оператор на перестановочный с действием группы это

Оператор управляет следующим броуновским движением на

где независимые стандартные одномерные броуновские движения. Несложные вычисления показывают, что

где элемент объема Эта формула инвариантна относительно группы Легко вывести, что набор собственных значений матрицы представляет собой случайный процесс, начинающийся заново в марковские моменты. Эта диффузия управляется (вплоть до момента ) оператором индуцированным исходным оператором

на Чтобы представить себе наглядную картину, вообразите, что, когда совершает броуновское движение на набор его собственных значений совершает стандартное -мерное броуновское движение на испытывая отталкивание с потенциалом

Учитывая это отталкивание, естественно считать, что момент достижения бесконечен, если Это сейчас и будет доказано.

Шаг 1

где сумма подмногообразий вида

подмногообразий вида наконец, единственного подмногообразия На этом шаге мы докажем, что

Доказательство.

Коразмерность есть в точности 1 плюс размерность подгруппы группы коммутирующей с диагональными матрицами, принадлежащими Но эта подгруппа представляет собой произведение и диагональной подгруппы группы так что коразмерность равна 2. Аналогичное рассуждение показывает, что д.

Шаг 2

Процесс не может достигнуть подмногообразия коразмерности 2 при

Доказательство.

Определим

Здесь произведение элемента объема подмногообразия и положительной функции из такой, что вне Когда приближается к снаружи, то функция ограничена снизу следующей (с точностью до положительного множителя) величиной:

где — расстояние от до Пусть теперь время пребывания процесса Если то в то же время для дифференциал его обычный броуновский дифференциал, поскольку

Но это означает, что вплоть до момента представляет собой одномерное броуновское движение, происходящее в некотором новом времени и мы приходим к противоречию подобно тому, как это имело место в задаче 7 разд. 2.9 или в задаче 5 разд. 4.5.

Задача 1. Докажите при что собственные значения образуют диффузию на , управляемую оператором с помощью непосредственного стохастического дифференцирования выражений

Решение. В результате дифференцирования получим

где

Теперь с помощью задачи 2 разд. 2.9 докажите, что независимые одномерные броуновские движения.

Задача 2. Докажите, что при определитель можно записать в виде где одномерное броуновское движение, независимый двумерный бесселевский процесс.

Решение. Имеем:

и

где независимые одномерные броуновские движения. Теперь с помощью разд. 3.11 установите, что бесселевский процесс, и отождествите определитель с

Задача 3. Используя метод шага 2, докажите следующий топологический факт: если из удалить подмногообразие коразмерности 2, то оставшееся множество связно.

Решение. Обозначим подмногообразие через Возьмем и заключим у в малый шар не пересекающийся с Поскольку и так как (по аналогии с шагом 2) не может попасть в то можно найти непрерывный

путь, соединяющий х надо просто двигаться из в А по броуновской траектории и потом соединить у и отрезком прямой.