3.7. Формула Камерона — Мартина

Пусть даны функции ей класса. обозначим через 5 (невзрывающееся) решение уравнения Пусть — решение уравнения с той же начальной точкой и временем жизни Докажем, что для

и событий зависящих только от

В частности, Камерон и Мартин [1] открыли прототип этой формулы. При и согласно задаче 2 разд. 3.6, , так что в этом случае . Такая возможность отмечалась ранее в разд. 2.3, но не подкреплялась примером. Для простоты мы проведем доказательство в предположении, что

Доказательство.

Событие В можно аппроксимировать событиями где Поэтому интересующую нас формулу достаточно доказать при вблизи бесконечности. В частности, предположение, что не ограничивает общности. Используя неравенство легко показать, что

Так как то из свойства (5) разд. 2.3 вытекает, что процесс мартингал и, стало быть, Но тогда при имеем

Это значит, что если событие В зависит от значений лишь при то среднее не зависит от Как следствие мы получаем, что процесс с распределением начинается заново в постоянные моменты времени. Для завершения доказательства достаточно проверить соотношение при Как и раньше, введем оператор Из леммы примененной к финитной функции вытекает, что

Проинтегрировав от 0 до и взяв от обеих частей математические ожидания, находим

Теперь лемма Вейля позволяет заключить, что функция принадлежит и удовлетворяет уравнению Кроме того, для любой окрестности начальной точки Доказательство завершается ссылкой на тот факт, что наименьшая функция с такими свойствами (см. разд. 3.5). В самом деле, и так как то