3.2. Решение уравнения dx=e(x)db+f(x)dt для случая коэффициентов ограниченного наклона

В качестве первого шага в выполнении программы, намеченной в разд. 3.1, мы докажем, что если коэффициенты принадлежат и имеют ограниченные производные, то уравнение

имеет только одно неупреждающее решение начинающееся в точке Используется первоначальное доказательство Ито [2]; для простоты предполагается, что и рассматриваются лишь значения

Доказательство существования при

Определим неупреждающие броуновские функционалы формулами

Применяя неравенство и свойство (5) разд. 2.3, читатель легко может проверить

по индукции, что

Здесь использованы обозначения Далее, процесс является мартингалом относительно броуновских полей так что неравенство разд. 1.4, примененное к субмартингалу дает оценку

Комбинируя это с более простой оценкой для

получим

Выберем Тогда общий член сходящегося ряда и по первой лемме Бореля — Кантелли

В силу этого функционалы сходятся равномерно при 1 к неупреждающему броуновскому функционалу Так как

а правая часть стремится к 0 при то из свойства (7) разд. 2.3 легко вывести, что

Доказательство существования завершено.

Доказательство единственности при

Допустим, что существуют два неупреждающих решения Введем марковский момент или и пусть 5 — произведение и (неупреждающего) индикатора события Тогда

Дисперсию можно оценить сверху через как и при доказательстве

существования. Отсюда следует, что полагая приходим к выводу, что, как и утверждалось,