3.6. Феллеровский критерий взрыва

Пусть заданы коэффициенты класса рассмотрим решение уравнения в естественной шкале

Процесс удовлетворяет уравнению где Докажем следующий критерий Феллера: для любого начального состоянии либо либо в зависимости от того, бесконечны или конечны интегралы

Многомерный аналог критерия Феллера, установленный Хасьминским, доказан в разд. 4.5.

Доказательство.

Процесс к моменту взрывается в или в том и только том случае, если стремится к или при Определим решение уравнения рядом

Воспользуемся очевидной оценкой и докажем, что функция и стремится к на обоих концах интервала именно в случае расходимости интегралов

По лемме Ито при

Так как где то из свойства (5) разд. 2.3 вытекает,

что для процесса, начинающегося в точке между выполняется равенство Переходя к пределу при получим, что в случае расходимости

Напротив, если полагая мы находим из соотношения что для процесса, выходящего из точки между

Но это невозможно, если Итак, доказательство критерия Феллера завершено.

Задача 1. Доказать, что если

Решение. Из результатов разд. 2.5 и леммы Ито следует, что и где функция и определена выше, а — некоторое броуновское движение и Так как то на множестве при выполняется неравенство так что в предположении функция и должна была бы быть неограниченной.

Задача 2. Доказать, что для вблизи взрыв невозможен, если , и происходит наверняка при Случай уже рассматривался ранее в задаче 1 разд. 3.3.

Решение. Воспользуйтесь критерием Феллера и результатом предыдущей задачи.