2.6. Стохастические дифференциалы и лемма Ито

В дальнейшем под стохастическим интегралом будем понимать более общее выражение

включающее:

(a) величину не зависящую от основного броуновского поля В,

(b) неупреждающий броуновский функционал такой, что

(c) неупреждающий броуновский функционал для которого

Стохастический дифференциал это просто более компактная запись для того же самого выражения. Например, интегральная формула

из разд. 2.4 значит то же самое, что дифференциальная формула Стохастический интеграл сам является неупреждающим броуновским функционалом, так что класс стохастических интегралов замкнут относительно обычного интегрирования и относительно интегрирования по Этот класс замкнут также относительно

сложения и умножения на константы. Лемма Ито устанавливает, что он замкнут и относительно применения широкого класса гладких функций.

Лемма Ито.

Рассмотрим функцию определенную на с непрерывными частными производными

Возьмем стохастических интегралов Тогда композиция — тоже стохастический интеграл, дифференциал которого равен

Произведения вычисляются на основе приведенной ниже «таблицы умножения», т. е.

Проиллюстрируем лемму Ито рядом простых примеров.

Пример 1.

Как уже отмечалось выше, Более того, лемма Ито устанавливает, что для стохастический дифференциал

выражения равен или, что то же самое,

Пример 2.

Лемма примененная к выражению дает

В частности, при имеем т. е. играет роль обычной экспоненты в стохастическом дифференциальном исчислении (дополнительно об этом см. разд. 2.7).

Пример 3.

Лемма примененная к произведению дает Тем самым получено правило интегрирования по частям:

Важный вывод из этого примера: класс стохастических интегралов замкнут относительно умножения.

Доказательство леммы Ито.

Дифференциальная формула Ито представляет собой сокращенную запись интегрального выражения для Согласно определению интеграла, достаточно доказать эту формулу для простых функционалов а в силу аддитивной природы интегралов можно ограничиться тем случаем,

когда постоянны Но тогда можно представить в виде для некоторой новой (гладкой) функции и, определенной на Беглое размышление позволяет понять, что достаточно установить лемму Ито для этой новой функции, т. е. для можно к тому же считать, что Положим Если достаточно быстро и то

(см. скан)

На последнем шаге использована лемма разд. 2.4.

Для завершения доказательства осталось оценить максимум модуля мартингала

фигурирующего в последнем выражении. При дополнительном условии: слегка видоизмененное доказательство леммы разд. 2,4 дает

откуда и следует лемма Ито. Читатель может теперь убедиться в том, что условие совершенно безобидно, ибо

Задача 1. Определим для и обратный интеграл

Докажите, что Простейший пример такого рода дает задача 1 разд. 2.4:

Решение.

где было определено ранее. Та же модификация леммы разд. 2,4, что и при доказательстве формулы приводит теперь к нужному результату.