3.9. Отражающие экраны

Скороход [1] обнаружил, что для коэффициентов класса уравнение

имеет единственное неупреждающее решение определенное до некоторого броуновского момента остановки (момента взрыва), такое, что

(c) f - непрерывная возрастающая функция, кусочно-постоянная вне множества Скороход отождествил это решение с диффузией, отражающейся в 0 и управляемой оператором с граничным условием (Граничное условие определяет сужение на Иначе говоря, наименьшее фундаментальное решение задачи имеющее полюс в х и удовлетворяющее условию Результат Скорохода будет доказан ниже, следуя работе Маккина [4]. Мы установим также, что представляет собой ассоциированное с локальное время:

Так как проблема локальна, то разумно предположить, что вблизи Это упростит рассуждения.

Доказательство единственности в одном частном случае.

Рассмотрим при два решения Если в какой-то момент то и функция постоянна вблизи так что разность возрастает, если же то функция постоянна вблизи и разность убывает. Вывод: что и утверждалось. Это изящное доказательство заимствовано у Скорохода [1].

Доказательство единственности в общем случае.

Разность I двух решений и удовлетворяет уравнению

с неупреждающими коэффициентами и

( определяется аналогично). Согласно справедливо неравенство так что

Так как функции и ограничены до момента или то дисперсию можно оценить с точностью до постоянного множителя интегралом Отсюда следует, что и доказательство завершается предельным переходом при

Доказательство существования при (рассмотрение общего случая предоставляется читателю).

Шаг 1

Если то решением является процесс где

Шаг 2

Пусть Если как в шаге 1, а

то из правила случайной замены времени (разд. 2.8) следует, что процесс представляет собой решение уравнения при некотором новом броуновском движении

Так как процесс измерим относительно то он не зависит от Стало быть, неупреждающий функционал от а. То же самое верно и для поэтому искомое решение.

Шаг 3

Пусть решение уравнения (коэффициент функция класса такая, что Незначительная модификация леммы Ито позволяет заключить, что процесс удовлетворяет уравнению

и для завершения конструкции осталось выяснить, как надо выбрать чтобы получить произвольные коэффициенты вблизи бесконечности) класса в виде

Если функция описанного выше типа, то Теперь достаточно решить уравнение в классе функций с дополнительными ограничениями Это уравнение преобразуется к виду

и нетрудно убедиться, что при условии вблизи нужное нам решение существует.

Отождествление и диффузии с отражением.

Шаг 1

Для решение задачи Скорохода можно при представить в виде и примерно так же, как в разд. 3.5, из единственности решения следует, что движение начинается заново в каждый броуновский момент остановки. Вычислим теперь при используя совместное распределение Это распределение приведено в задачи 2 разд. 2.3. Имеем

Используя этот результат, формулу (с) задачи 2 разд. 2.3 и тот факт, что процесс начинается заново в момент достижения 0, вычислим

при Так как процесс в свои собственные марковские моменты начинается заново, то искомая функция совпадает с выражением

Но это и есть фундаментальное решение задачи с условием и полюсом в точке Итак, мы действительно установили совпадение процессов и отраженного движения.

Шаг 2

Положим При заданном коэффициенте класса определим Используя формулу замены времени из разд. 2.8, можно проверить, что для некоторого нового броуновского движения

Так как функция четная, то процесс начинается заново в свои собственные марковские моменты, в чем читатель без труда убедится самостоятельно. Оператор управляет процессом и нетрудно видеть, что процессом управляет сужение на оператора Это сужение задается условием Действительно, если фундаментальное решение задачи на всей прямой, то при функция задает переходную плотность для процесса откуда и следует нужный результат. Заметим теперь,

что решение, найденное при доказательстве существования (шаг 2), получается из отраженного броуновского движения по тому же рецепту, который только что из процесса позволил сконструировать Стало быть, это решение также должно управляться оператором с граничным условием

Шаг 3

Он состоит в применении к процессу, построенному в шаге 2, отображения Читателю рекомендуется самостоятельно разобраться в деталях.

Отождествление и локального времени в точке

Шаг 1

При достаточно проверить, что величина — совпадает с локальным временем

Существование этого локального времени вытекает из результатов разд. 3.9 и того факта, что процесс распределен так же, как и Используя совместное распределение (см. задачи 2 разд. 2.3), выясняем, что

(кликните для просмотра скана)

и

Отсюда вытекает, что Так как и непрерывные функции от они совпадают сразу при всех

Шаг 2

Полагая где (как в предыдущем шаге), и определяя где находим

локальное время для

Шаг 3

Как и в предыдущем случае, все сводится к применению отображения и может быть предоставлено читателю.