3. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ОДНОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ)

3.1. Диффузия

Диффузией в называется совокупность случайных процессов с непрерывными траекториями определенных до некоторого момента (называемого моментом взрыва), таких, что или если Каждый таткой процесс характеризуется своей начальной точкой и отдельные процессы связаны между собой следующим правилом: если марковский момент (момент остановки) для т. е. если при любом событие измеримо относительно то при условии, что будущее

не зависит от прошлого и имеет то же распределение, что и процесс, выходящий из короче говоря, процесс 5 начинается заново в каждый свой марковский момент.

Пусть задана такая диффузия и «хорошая» функция на Изучим как функцию от Так как диффузия начинается заново в постоянные моменты, то при

значит, отображение мультипликативно:

как подсказывают сами обозначения. Оператор является дифференциальным

оператором, представимым в «хороших» случаях в виде где принадлежат классу Если это так, то переходную плотность удается отождествить с минимальным фундаментальным решением уравнения имеющим полюс в точке (точную формулировку см. далее в разд. 3.6). Поскольку распределение можно выразить через основываясь на формуле

где

то говорят, что оператор управляет диффузией Прекрасным введением в этот круг идей может служить книга Ито [9]. Более исчерпывающий материал содержится в монографиях Дынкина [3] и Ито и Маккина [1].

Броуновское движение с произвольной начальной точкой является простейшим примером такой диффузии: элементарное решение уравнения так что управляется оператором Чуть более сложно устроена диффузия при постоянных Здесь является элементарным решением уравнения где Второй пример уже содержит некоторый рецепт того, как, исходя из

броуновских траекторий, получить траектории диффузии, управляемой оператором при непостоянных из класса Для этого достаточно положить локально решить стохастическое дифференциальное уравнение при Разд. 3.2-3.4 посвящены решению этой задачи, а в разд. 3.5 доказывается, что оператор управляет диффузией