3.3. Решение уравнения dx=e(x)db+f(x)dt для общих коэффициентов класса

Опираясь на результаты разд. 3.2, теперь можно доказать, что для произвольных принадлежащих классу и фиксированной точки существует и притом только один броуновский функционал определенный вплоть до броуновского момента остановки (момента взрыва), такой, что

(a) произведение и индикатора события есть неупреждающий функционал,

Кроме этого, будет доказано, что процесс начинается заново в броуновский момент остановки. Более точно, если такой момент, то при условиях «будущее» не зависит от броуновского поля (относительно которого измеримо «прошлое» процесса 5: и имеет то же распределение, что и решение уравнения при начальном условии Так как марковские моменты для суть в точности броуновские моменты остановки, то процесс диффузия, описанная ранее в разд. 3.1. В силу свойства (с) естественно положить при

Если коэффициенты имеют ограниченный наклон, то (см. разд. 3.2). Аналитический критерий для проверки равенства дан в разд. 3.6 (см. также задачи 1 и 2 настоящего разд.).

Шаг 1

Продолжим вне интервала так, чтобы они превратились в функции

с ограниченным наклоном. Пусть решение уравнения с условием Определим броуновский момент остановки с Как и во второй части разд. 3.2, проверяется, что при и отсюда следует выполнение свойств (а) и (b) для траектории и броуновского момента остановки Любое другое неупреждающее решение совпадает с до момента Доказательство можно получить, слегка видоизменяя рассуждения предыдущего раздела.

Шаг 2

Доказательство.

Если свойство (с) не выполнено, то можно найти точку в (например, 0) и положительное число (скажем, 1) так, что где событие, состоящее в том, что процесс вернется бесконечно много раз в 0 до момента побывав при этом в множестве Каждый момент возвращения

представляет собой броуновский момент остановки, и петли

представляют собой один и тот же (неупреждающий) функционал от броуновского движения

при любом Читателю теперь нетрудно будет проверить, что эти петли независимы и одинаково распределены; существенно, что то же самое верно и для времен возвращения Отсюда по усиленному закону больших чисел получаем

Но на множестве справедливо неравенство которое приводит к противоречию, если

Шаг 3

Последнее, о чем надо позаботиться, — это проверить утверждение, что процесс начинается заново в каждый броуновский момент остановки.

В шаге 2 встречается простейший пример подобного утверждения. Читатель без труда дополнит приводимое ниже доказательство необходимыми деталями из теории меры.

Доказательство.

Пусть дан броуновский момент остановки Рассмотрим процессы и величину при условиях Процесс есть броуновское движение, так как Свойства выполнены, если заменить на соответственно. Это значит, что для почти всех у процесс имеет то же распределение, что и решение уравнения §

Заметив, что величина измерима относительно завершим доказательство.

Задача 1. Докажите, что

Решение для случая Обозначим постоянную в правой части неравенства через Определим моменты как в шаге 1, и положим

Тогда при

Но это значит, что поскольку не зависит от требуемый результат следует из оценки при

Задача 2. Докажите, что

Решение. Из результатов разд. 2.5 вытекает, что при некотором новом броуновском движении а и Процесс не может взорваться, так как броуновское движение ни за какое время не может стремиться ни ни к (см. задачу 7 разд. 2.9, в которой использованы аналогичные аргументы).

Задача 3. Докажите, что

и

Решение. Воспользуйтесь усиленными законами из заключительной части разд. 2.5.

Задача 4. Докажите следующее утверждение:

Если и два решения уравнения причем то

Решение. Момент броуновский момент остановки, и поскольку оба решения начинаются заново в такие моменты, то если только

Задача 5. Рассмотрим финитные функции ей из Для данных х построим процессы как решения уравнения выходящие из х и у соответственно. Положим и заметим, что является решением уравнения

с неупреждающими коэффициентами

(аналогично определяется и Используя формулы разд. 2.7, представим в виде

Определим и

Докажите, что при Проделайте то же самое с процессами и

Дайте аналогичные формулы для и т. д.

Решение. Обозначим экспоненциальные выражения для и через соответственно. Воспользуемся оценками

и проверим, что при фиксированном

Тот же план доказательства проходит и для разности .

Задача 6. Рассмотрим функции из Используя результат задачи 5, покажите, что процесс можно определить как функцию от таким образом, чтобы при любом непрерывен на и для каждого

(мы полагаем

Решение. Используя лемму Колмогорова (см. задачу 1 разд. 1.6), покажите, что процесс при любом допускает модификацию, непрерывную на