2.2. Определение стохастического интеграла Ито

Рассмотрим поле С борелевских подмножеств оси и возрастающее семейство полей таких, что не зависит от поля порожденного процессом Функция зависящая от броуновской траектории возможно, дополнительных стохастических координат, измеримых относительно называется неупреждающим броуновским функционалом, если

1) измерима относительно ,

2) при каждом 0 измерима относительно

Наша цель — определить одновременно для всех 10 и для почти каждой броуновской траектории. Дополнительно предполагается, что

Задача 1 разд. 2.5 показывает, что без этого условия обойтись нельзя. Чтобы понять суть дела, достаточно рассмотреть построение интеграла при условии 1

Оценки основываются на мартингальном неравенстве разд. 1.4. Наши рассуждения отличаются от рассуждений Ито [1] только в этом пункте.

Шаг 1

Неупреждающий броуновский функционал называется простым, если при для некоторого Для таких определим

где Заметим следующее:

(a) интеграл не зависит от

(d) интеграл представляет собой непрерывную функцию верхнего предела

Шаг 2

Чтобы определить для общего неупреждающего функционала, понадобится следующая точная оценка интеграла от простого функционала:

Доказательство.

Для простого функционала процесс представляет собой (непрерывный) мартингал относительно семейства полей , причем . В самом деле, если

постоянен при то величина с измерима относительно стало быть, не зависит от В результате находим

а это согласуется с определением разд. 1.5. Простая индукция завершает доказательство этого шага, и сформулированная выше оценка получается, если заменить на и применить мартингальное неравенство разд. 1.4

Шаг 3

Пусть последовательность простых функционалов, для которых и постоянная. Тогда

Доказательство.

Применим оценку шага 2, выбрав Величина общий член сходящегося ряда, так что по первой лемме Бореля — Кантелли

Остается повторить эти рассуждения, заменив на

Шаг 4

Если дан неупреждающий броуновский функционал для которого то можно найти такую последовательность простых неупреждающих функционалов что

Доказательство.

Доопределим и положим Так как стремится к 0, если сначала устремить к а затем (именно в таком порядке!), то для любого «1 можно подобрать так, чтобы

— неупреждающий простой функционал, и нужное нам соотношение

немедленно следует из первой леммы Бореля-Кантелли.

Шаг 5

Теперь уже можно определить Рассмотрим простые функционалы , такие, что (как в шаге 4),

Согласно шагу экспоненциально быстро убывает при , так что можно положить Оценка шага 3 показывает, что предел не зависит от способа выбора простой аппроксимирующей последовательности Так как сходимость равномерна, непрерывная функция верхнего предела; особенно важно, что эта функция определена одновременно для всех для почти всех броуновских траекторий.

Задача 1. Доказать, что при условии стохастический интеграл можно определить таким образом, чтобы

Решение. Выберем простые функционалы равные тождественно 0 вблизи бесконечности, так, чтобы Можно без труда обобщить использованные выше оценки и показать, что стремится к 0 при экспоненциально быстро. Так как при

— непрерывная функция, то и функция непрерывна.