2.3. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ МОДЕЛИ ФАКТОРНОГО АНАЛИЗА

Геометрическая иллюстрация алгебраических зависимостей фак торного анализа облегчает усвоение отдельных проблем. С другой стороны, -мерная геометрия для большинства людей так же не наглядна, как матричное исчисление. Геометрическое представление обладает рядом важных преимуществ при знакомстве с математической стороной факторного анализа. Но при этом понятно, что пространственную модель можно строить только лишь в трехмерном случае. При выделении четырех и более факторов, что чаще всего и встречается на практике, невозможность наглядного пространственного изображения не имеет решающего значения. В этом случае при численном решении используются чисто алгебраические приемы матричного исчисления. Далее займемся геометрической иллюстрацией понятий и систем уравнений, приведенных в гл. 2.2.

2.3.1. Геометрическое представление матрицы Исходных данных и пространство тестов

Таблица 2.5. Пример матрицы исходных данных

В гл. 1.3, посвященной корреляции и регрессии, мы уже познакомились с геометрическим изображением связи между двумя переменными (см. рис. 1.2-1.6). На графиках каждому индивидууму соответствует точка в двумерной системе координат, причем по осям координат откладываются значения переменных. В общем случае наблюдается более двух переменных. Тогда исходные данные задаются в виде матрицы. В табл. 2.5 приведен простой пример такой матрицы только для трех лиц.

Проиллюстрируем данную матрицу графически, а именно начертим корреляционные диаграммы. Каждая диаграмма будет содержать только три точки, так как мы располагаем данными только по трем лицам.

Рис. 2.8. Корреляционные диаграммы По данным табл. 2.5. Буквы А, b, С соответствуют индивидуумам (лицам)

На рис. 2.8 изображены две такие диаграммы, а именно для второй и третьей переменных, а также для первой и третьей переменных. Точки при этом соответствуют лицам, т. е. столбцам табл. 2.5. Координатные оси каждый раз соответствуют двум строкам. При подобном графическом изображении для матрицы исходных данных потребовалось бы несколько корреляционных диаграмм, а именно столько, сколько имеется коэффициентов корреляции, т. е. . В нашем случае это было бы двумерных корреляционных диаграмм, из которых только две представлены на рис. 2.8. Вполне очевидно, что такой способ геометрического пр едставления не очень удобен из-за большого числа графиков.

Отказываясь от двумерного изображения можно пойти по одному из следующих путей.

Во-первых, можно столбцы табл. 2.5 представить в виде трех точек в пятимерном пространстве. Обычные корреляционные диаграммы являются тогда проекциями этого пространства на соответствующие плоскости.

Во-вторых, можно пять переменных, или строки табл. 2.5, представить в виде пяти точек в трехмерном пространстве. Три лица здесь соответствуют координатным осям. Это так называемое пространство тестов изображено на рис. 2.9 для матрицы исходных данных табл. 2.5. Вся информация этой таблицы содержится в рисунке. Каждая переменная представлена вектором, или стрелкой, координаты концов которых берутся из табл. 2.5. Итак, матрицу исходных данных можно рассматривать как -мерное пространство тестов, в котором находится точек-переменных. Если бы в нашем примере было более трех лиц, то мы вынуждены были бы использовать большую размерность и наглядность примера исчезла бы.

Рис. 2.9. Пространство тестов по данным табл. 2.5

Оба способа геометрического представления матрицы исходных данных эквивалентны. В первом случае лиц изображаются точками в -мерном пространстве (рис. . При этом столбцы матрицы исходных данных являются точками, а строки — осями координат. Во втором случае переменных изображаются точками в -мерном пространстве (рис. 2.9). При этом строки матрицы исходных данных являются точками, а столбцы — координатными осями. Представление переменных в виде векторов, или точек, в -мерном тестовом пространстве приближает нас непосредственно к факторному анализу. Такой способ рассмотрения является в известной степени обратным по отношению к обычному изображению в виде корреляционной диаграммы и, кроме того, отличается размерностью.

Давайте более подробно рассмотрим пространство тестов на рис. 2.9. Расстояние точки i от начала координат в -мерном пространстве называется нормой вектора она определяется как в нашем случае для матрицы исходных данных Как известно, стандартное отклонение переменной со средним значением, равным нулю, вычисляется по формуле . Подставив эту формулу в приведенное выше выражение, получим для пространства тестов Т:

Расстояние точки, или переменной, от начала координат в тестовом пространстве пропорцинально стандартному отклонению этой переменной. Коэффициент пропорциональности равен (Легко можно убедиться, что для переменных, среднее значение которых коэффициент пропорциональности тоже является постоянным числом.) Чем длиннее вектор, изображаемый в виде стрелки на рис. 2.9, тем больше стандартное отклонение или дисперсия соответствующей переменной.

Коэффициент корреляции также имеет геометрическую интерпретацию в тестовом пространстве. Вообще коэффициент корреляции в -мерном пространстве между двумя векторами определяется по формуле

где являются нормами обоих векторов, — проекциями точек i и k на координатных осей. Исходя из этого Для пространства тестов получим следующее выражение коэффициента корреляции между двумя переменными i и

т. е. косинус угла между двумя векторами на рис. 2.9 соответствует коэффициенту корреляции между ними. Формула (2.32) идентична обычной формуле коэффициента корреляции (2.8) в том случае, когда .