2.4. ЧАСТНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ КОРРЕЛЯЦИИ КАК ИСХОДНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ФАКТОРНОГО АНАЛИЗА

В самом начале развития факторного анализа не было ни точных формулировок с привлечением матричного исчисления, ни соответствующей геометрической интерпретации. Более того, Спирмэн при построении своей теории исходил из частных коэффициентов корреляции. В связи с тем, что такая исходная позиция сама по себе не приводит к современной теории факторного анализа, она пока не рассматривалась нами. Однако она способствует пониманию материала.

Общепринятое вычисление коэффициентов корреляции между двумя переменными на практике приводит к ряду трудностей, которые не могут быть преодолены только с помощью этих коэффициентов. Значимые коэффициенты корреляции лишь констатируют связь между двумя наблюдаемыми переменными, и часто остается открытым вопрос, благодаря чему же осуществляется эта связь. Обычно при наличии корреляции считают, что переменная х определяет переменную у или, наоборот, переменная у определяет, или что третья переменная либо же совокупность других переменных х определяют у. Знание только одних коэффициентов корреляции не является достаточным основанием для выдвижения этих гипотез. Коллер [176; 1, 2, 3] неоднократно указывал, что корреляция может возникнуть за счет неоднородности выборки или из-за технических либо вычислительных погрешностей. В принципе погрешности можно исключить, если они известны, а также избежать влияния неоднородности. Что является результативным и факторным признаками, определяется только экспериментальным путем. Вопрос, обусловливается ли корреляция между х и у связью третьей переменной с х и у, приводит к понятию частной корреляции.

Частный коэффициент корреляции между двумя переменными при фиксированном значении третьей переменной вычисляется но известной формуле

Выводом этой формулы мы заниматься не будем. При анализе корреляции и корреляционной матрицы Спирмэн исходил из того, что частные коэффициенты корреляции между двумя переменными должны быть равны нулю, если общий «фактор» поддерживается постоянным:

В корреляционном анализе при вычислении частных коэффициентов корреляции соответствующие переменные остаются на одном и том же уровне; в факторном анализе постоянное значение принимает фактор. Если удалось свести к нулю значения частных коэффициентов корреляции путем удачного выбора одного фактора, поддерживаемого на постоянном уровне, то имеются все основания предполагать, что этот фактор один обусловливает наблюдаемые корреляции переменных своим воздействием на них. В этом случае говорят о генеральном факторе, с которым мы уже познакомились. Коэффициенты корреляции между переменными и факторами являются факторными нагрузками. Остановимся вначале только на одном факторе и подставим (2.38) в (2.39), тогда получим

Для выполнения этого равенства необходимо, чтобы числитель этой дроби был равен нулю, т. е.

где являются факторными нагрузками, которые раньше мы обозначали . Их произведение дает коэффициент корреляции между наблюдаемыми переменными.

На практике редко встречается выполнение условия (2.41) для корреляционной матрицы. Поэтому вводят другие факторы, которые поддерживаются на постоянном уровне и от которых требуется, чтобы они были некоррелированы. Если одного фактора по равенству (2.41) недостаточно, чтобы свести к нулю частные корреляции, то для объяснения наблюдаемых корреляций применяют два фактора:

Формула частного коэффициента корреляции при фиксированных значениях двух переменных имеет вид:

т. е.

Правая часть равенства тогда будет равна нулю, когда числитель этой дроби будет равен нулю. Подставляя в числитель выражения, соответствующие формуле (2.38), получим

Коэффициент корреляции между обоими факторами , должен быть равен нулю. Приведя члены к общему знаменателю, получим

В силу того, что числитель должен быть равен нулю, имеем

Если двух факторов недостаточно, т. е. после введения двух факторов имеется еще остаточная корреляция между переменными, то добавляют еще третий фактор и т. д. Таким образом, мы пришли к многофакторному анализу, который уже упоминался выше, но с другой исходной позиции. Если в факторном анализе исходят из частных коэффициентов корреляции, то основное требование записывается в следующем виде:

т. е. факторов своим воздействием целиком обусловливают наблюдаемую корреляцию между переменными и полностью воспроизводят корреляционную матрицу. Эта формулировка эквивалентна формулировке фундаментальной теоремы (2.15) и приводит к формуле (2.46), которая полностью соответствует формуле (2.16):

Обращаясь к формуле (2.16), надо иметь в виду, что

С исторической точки зрения основную идею многофакторного анализа можно воспринять как попытку по возможности точно воспроизвести наблюдаемые корреляции переменных путем поддержания на постоянном уровне определенных величин, так называемых факторов. Должно быть подобрано как можно меньшее число факторов, но с таким расчетом, чтобы при их фиксировании частные корреляции были равны нулю. Взаимосвязь переменных с факторами определяет наблюдаемые коэффициенты корреляции между переменными.

Такой подход всегда можно осуществить при . Однако интерес представляют те случаи, когда значительно меньше , причем если это достигается без большой потери информации. При изучении частной корреляции обычным способом соответствующие коэффициенты вычисляются между всеми переменными. Большое число частных коэффициентов корреляции дает трудно обозримую информацию.

По сравнению с этим подход, используемый в факторном анализе, дает то преимущество, что фиксируется небольшое число факторов, и факторы, не удовлетворяющие принципу частной корреляции, могут быть отброшены.