6.4. ДРУГИЕ МЕТОДЫ ОЦЕНКИ ЗНАЧЕНИЙ ФАКТОРА

В принципе значения фактора можно оценивать без использования матрицы А. Но на практике такой подход не находит распространения. Кроме метода множественной регрессии, для оценки значений фактора разработан ряд других методов, а также приближенные и ускоренные способы оценок. Метод множественной регрессии, подробно рассмотренный в гл. 6.2.

Влечет большой гбъем вычислений, поэтому часто не устраивает исследователя. В данной главе разберем коротко принципы построения других оценок значений фактора.

В гл. 6.2 мы исходили из уравнения регрессии фактора по переменным. В модели факторного анализа направление исследования противоположное: переменная рассматривается как линейная комбинация факторов:

Умножив обе части равенства слева на получим

(6.29)

Подставив в (6.29) Z вместо ее оценки Z, получим выражение для оценки значений факторов:

Обращение матрицы по сравнению с обращением R в формулах (6.17)-(6.22) проще, так как здесь идет речь о матрице размером . Мы не можем дать точной рекомендации, каким из двух подходов и при каких дополнительных условиях пользоваться. В ортогональном случае результаты оценок факторов по (6.30) меньше отличаются от результатов по (6.18), чем в косоугольном случае. Нами рекомендуется процедура вычислений по формулам (6.17)-(6.22), так как кроме экономии в вычислениях никакого более убедительного аргумента в пользу (6.30) привести нельзя.

Самая простая процедура вычисления значений факторов описана Каттеллом в его книге [35; 4]. Он отбрасывает все переменные с малыми нагрузками на фактор. Затем он отдельно складывает значения переменных, дающих высокие положительные нагрузки на фактор, и -значения переменных с высокими отрицательными нагрузками. Разница между ними дает оценку значения фактора. Это очень грубая оценка и неизвестны как случайная, так и систематическая ошибки этой оценки. Несмотря на такую неточность, этой оценкой часто пользуются на практике.

При оценке значений факторов приходится тратить много времени на обращение матрицы R. Известны два подхода, которые сокращают эту вычислительную процедуру. Один из них предложен Харманом, другой — Ледерманом. Харман рекомендует свой способ в задачах с большим числом переменных. Эти переменные разбиваются на групп. Переменные каждой группы объединяются в одну составную переменную. При оценке факторов вместо корреляционной матрицы R порядка обращению подвергают матрицу коэффициентов корреляции между составными переменными порядка . При такой процедуре все переменные группы имеют одинаковый вес. Метод субъективен, так как не указывается однозначный критерий, по которому переменные должны объединяться в одну группу. Поэтому метод применяется тогда, когда этот критерий можно сформулировать исходя из каких-либо соображений. Объем вычислений, конечно, сокращается, что играет существенную роль при работе на клавишных вычислительных машинах. Более подробно метод описан у Хармана.

Ледерман исходил из того, что обращение корреляционной матрицы порядка , имеющей ранг , можно заменить обращением матрицы порядка . Если значительно меньше , то объем вычислений существенно сокращается. Погрешность результата зависит от того, насколько точно факторная матрица с столбцами воспроизводит матрицу выборочных коэффициентов корреляции. Если остаточные коэффициенты корреляции малы, то точность ускоренного метода не уступает методу полной оценки. Техника вычислений описана у Ледермана и Хармана.

Если значительно меньше m, то факторный анализ облегчает вычисление коэффициентов множественной корреляции и частных коэффициентов корреляции. При этом используется в принципе та же самая процедура ускоренного метода оценки значений факторов Ледермана. По данному вопросу отсылаем читателя к работам Дуайера [79; 2, 3], Кригера и Гуттмана [112; 1, 2], Гуттмана и Коэна [113].

Оценкой значений косоугольных факторов занимались Томсон, Баггалей и Каттелл. Каттелл сравнил на одном примере результаты точного оценивания и ускоренного метода. Ограниченные рамками этой главы, мы не можем останавливаться на этом сравнительном анализе. Следует упомянуть также метод, предложенный Бартлетом. Метод основан на минимизации дисперсии характерных факторов и в общем случае он приводит к иным результатам, чем разобранные здесь методы, так как они были построены на другом принципе. При выборе того или иного метода нужно исходить из принципа оценки, который лежит в его основе.