5.5.1. Ортогональный метод

В своих исследованиях Кэрролл, Саундерс [249; Л, Нейгауз и Райгли, а также Фергюсон почти одновременно и совершенно независимо друг от друга предложили критерии вращения, которые в принципе соответствуют друг другу. В то время как первые три автора базировались на постулатах Тэрстоуна, определявших принцип простой структуры, Фергюсон подошел к проблеме с позиции наибольшей простоты или экономии при описании переменных в пространстве общих факторов. Он исходил из того, что самое экономное описание точки в двумерной системе координат соответствует такому ее положению, когда одна из осей проходит через нее. Следовательно, для наиболее экономного описания точки нужно при вращении осей стремиться к этому идеальному случаю. Совершенно очевидно, что если одна из осей приближается к точке, то произведение двух ее координат начинает уменьшаться. Рассуждая таким образом, Фергюсон пришел к выводу, что в качестве меры экономии может служить сумма произведений координат множества точек. А так как точки могут иметь как положительные, так и отрицательные координаты (факторные нагрузки), он предложил вместо простой суммы брать сумму квадратов произведений координат. Таким образом получился следующий критерий экономного описания переменных, который должен принимать минимальное значение при таком положении системы координат, когда наибольшее число точек лежит вблизи осей:

Идея экономии в факторном анализе тесно примыкает к принципу простой структуры Тэрстоуна. Примем следующие обозначения:

— исходная ортогональная факторная матрица;

— финальная факторная матрица, полученная в результате ортогонального вращения;

Т — ортогональная матрица преобразования.

Следовательно,

Если при ортогональном преобразовании Т матрица А переходит в матрицу В, то значение общности любой из переменных остается неизменным, т. е.

Очевидно, квадрат общности также остается постоянным:

(5.29)

Просуммировав это выражение по всем переменным, опять получим постоянную величину

То, что сумма двух членов в (5.30) всегда остается постоянной, означает, что с увеличением одного из них другой должен уменьшаться. В качестве меры экономии можно принять любой из членов. В частности, минимальное значение второго члена было указано как критерий экономии в (5.27). Фергюсон предложил также другой критерий, связанный с максимизацией выражения

Другие три автора различными путями пришли к функциям, которые должны иметь такой же максимум. Нейгауз, Райгли и Саундерс предложили максимизировать выражение (5.31), правда, в модифицированном виде. Формула, предложенная Кэрроллом, сводится к минимизации второго слагаемого в (5.30). Оба критерия применяются не только в ортогональном случае. Методы получения аналитического решения с помощью перечисленных критериев объединены под названием «квартимакс» (quartimax). Первым этот термин использовал Барт для критерия, предложенного Нейгаузом и Райгли. Харман распространил термин «метод квартимакс» на несколько независимых вариантов аналитических процедур, связанных со всеми четырьмя критериями. Метод квартимакс не находит сегодня широкого применения из-за одного своего существенного недостатка — сильной тенденции к выделению генерального фактора. В настоящее время наиболее распространена его модификация, известная под названием «метод варимакс», лучше приближающий решение с простой структурой. Метод варимакс был предложен Кайзером [164; 1, 2].

Кайзер исходил из того, что с помощью квартимакс-метода добиваются лишь упрощения описания каждой переменной и не учитывают столбцы факторной матрицы. В отличие от этого он решил сделать упор на упрощение каждого фактора, т. е. рассматривал столбцы. Согласно Кайзеру, простота фактора определяется дисперсией квадратов его нагрузок. Если эта дисперсия максимальна, то отдельные его нагрузки близки к нулю или единице, т. е. он описывается наиболее просто и поэтому его можно наилучшим образом проинтерпретировать.

Дисперсия квадратов нагрузок фактора I равна:

Просуммируем эту дисперсию по всем факторам. Полученная в результате этого величина будет максимальная в случае, когда дисперсия квадратов нагрузок каждого фактора примет наибольшее значение:

Данный критерий имеет тот недостаток, что переменная с большей общностью сильнее влияет на значение угла поворота, чем переменная с меньшей общностью, т. е. она обладает большим весом при определении финального решения. Кайзер усовершенствовал критерий (5.33) таким образом, чтобы все переменные при решении задачи вращения имели равные веса. Он предложил делить факторные нагрузки на соответствующие общности, благодаря чему все векторы-переменные приводятся к длине, равной единице. Таким образом, при определении положения осей координат имеют дело с нормированными переменными с равными весами. В отличие от (5.33) модифицированный Кайзером варимакс-критерий умножается еще на :

Нахождение максимума функции (5.34) приводит к определению положения системы координат, которое удовлетворяет требованиям ортогональной простой структуры. С техникой вычисления критерия можно познакомиться в [164; 2]. По сравнению с другими аналитическими аппроксимациями при поиске ортогонального решения с простой структурой метод варимакс обладает определенными преимуществами. Особенно полезно его применять в первом цикле вращения. К результату варимакс-решения применяют затем Rotoplot-программу и выполняют итеративную процедуру вращения в соответствующих плоскостях.

Следующий пример иллюстрирует решение, полученное с помощью метода варимакс. В качестве исходного решения использована система главных факторов табл. 3.14, к которым был применен графический метод вращения (гл. 5.3). Результат варимакс-вращения представлен в табл. 5.10 и на рис. 5.29.

Если сравнить рис. 5.29 с результатом косоугольного вращения на рис. 5.16, то бросается в глаза большая разница между ними.

Ортогональное вращение может аппроксимировать данные до получения простой структуры достаточно хорошо только тогда, когда векторы действительно ортогональны. Лишь дальнейшее вращение осей до получения косоугольной простой структуры, как это показано на рис. 5.29, привело бы к удовлетворительному результату, вполне согласующемуся с рис. 5.16.

Таблица 5.10. Варимакс-решение для двенадцати переменных (исходное факторное отображение приведено в табл. 3.14)

Рис. 5.29. Варимакс-вращение. Использованы данные табл. 5.10. Точки не попадают в зоны ±0,10 вокруг гиперплоскостей . Вращая оси, мы приходим к такому положении) системы координат, что большинство точек укладываются в допустимую величину зон вокруг гиперплоскостей . Сравните с рис. 5.16

Применение варимакс-метода позволило бы сократить процедуру вращения, уменьшив ее на два цикла по сравнению с примененным графическим методом.